高等数学C1-3.1.2函数的连续性(改）ppt课件.ppt

复习
求极限方法：
用极限运算法则；OM；无穷大与无穷小互倒；消去零因子；分母有理化；充要条件等。
求极限类型：
两个重要极限
一、第一个重要极限
二、第二个重要极限
常用的等价无穷小，当
0 处连续，
定理2
g(x0)≠0, 则在 x0 处函数 f(x)/g(x) 也连续．
例5 证明三角函数是连续函数．
证 我们只证cot x的连续性:
任意x0∈R, x0≠kπ(k∈Z), 由cos x、sin x
都在x0连续，且sin x0≠0，据定理2,
在 x0 处连续，从而cot x为连续函数．

设函数 u=φ(x) 在 x0 处连续且
定理3
函数 y=f(u) 在 u0 处连续，则
复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续．
u0=φ(x0),
注: 定理4中x→x0换成x→∞等其它情形，结论也成立
定理4
设
则:
即极限符号“lim”与连续的函数符号“f ”可以
交换次序．
函数 y=f(u) 在 u0 连续,
推论
设
则:
例6 求
解 因为
,
y=sin u在u=
处连续，由定理4的推论得
例7 求
解 因为
y=cos u在u=π处连续，由定理4的推论得
= cosπ= -1
由基本初等函数的连续性，常值函数在任一区间内的连续性，以及本节定理1、定理2和定理3得到以下重要结论：一切初等函数在其定义区间内连续．因此求初等函数f(x)在其定义区间内的点x0处的
极限，直接可用
来求．
基本初等函数在其定义域内都连续.
例8 计算
例9 求
解 由于x→0时，此极限是“
设法约去分子、分母的公共零因式，
”型，因此要
可用有理化分子的办法．因为
注意上式右端，x=0是初等函数
的定义区间内的点，所以
小结
函数f(x)在x=0处连续的充要条件是 f(x)
在 x=0 处左连续且右连续．
即极限符号“lim”与连续的函数符号“f ”可以
交换次序．
函数 y=f(u) 在 u0 连续,
推论
设
则:
-3 ().
三、函数的间断点
间断点至少属于下列三种情形之一:
有定义, 且函数 f(x) 在 x0 处不连续，则称 x0
定义
设函数 f(x) 在 x0 的某一个去心邻域内
为函数 f(x) 的间断点．
(1) f(x)在x0处无定义；(2) 极限
不存在；(3) 函数f(x)在x0处有定义且极限
存在但
解 因为 x≠1时, f(x) =x+1, 在x≠1处连续,
例10 讨论函数
的连续性并求它的间断点．
所以函数f(x)有连续区间 (-∞,1)、
(1, +∞)．
由于
因此 x=1是函数
f(x) 的间断点.
其定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)，
例11 求函数
的间断点．
解 因为函数
是初等函数，
因此函数 f(x)有间断点x=0．
例12 求函数
的间断点．
解
x>1时，g(x)=x是连续的；
x<1时，g(x)=x-2也是连续的．
由于
所以
不存在．
x=1为函数g(x)的间断点．
例13 求正切函数y=tan x的间断点．
解 正切函数为基本初等函数，在定义域
(k∈Z)处，
内处处连续．在x=kπ+
tan x无意义且
因此 kπ+
(k∈Z) 为tan x的间断点．
例14
解
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.

例15
解

例16
解
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.
如例16中,
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点

例17
解
若函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点，其余的间断点(即左、右极限至少有一个不存在)称为函数的第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等的点称为函数的可去间断点；左、右极限不等的点称为函数的跳跃间断点．在第二类间断点中，左、右极限至少有一个为无穷大的点称为函数的无穷间断点．
间断点类型
第一类间断点
第二类间断点
(左右极限都存在)
(左右极限至少有一个不存在)
可去间断点
跳跃间