计算方法Gauss消去法ch05ar.ppt

1第五章解线性方程组的直接方法计算方法—— Gauss 消去法 2本章内容?预备知识? Gauss 消去法?矩阵三角分解法?误差分析 3本讲内容?向量与矩阵?特征值与谱半径?一些特殊矩阵?预备知识?一般过程?对应的矩阵三角分解?列主元 Gauss 消去法? Gauss 消去法 4线性方程组直接解法 Ax b ??自然科学和工程计算中, 很多问题最终都需要求解一个线性代数方程组(1) 直接法: 适合低阶方程组或某些特殊大型稀疏方程组?目前使用的数值解法:(2)迭代法: 解大型稀疏方程组的主流算法, n n n A R b R ?? ?在本章中,我们总是假定 A是n阶方阵 5预备知识?向量与矩阵?预备知识?特征值与特征向量?矩阵的谱: ??( ) max ( ) AA ? ??????(A) = { A的所有特征值} ?矩阵的迹: ?矩阵的谱半径: 11 22 tr( ) nn a a Aa ? ???? Ax x ??( , , 0) n C x C x ?? ?? 6预备知识?相关性质 1 1 Ax x A x x ? ?? ???? 1 2 tr( ) nA ? ? ?? ???? 1 2 det( ) nA ?? ???A与A T有相同的特征值 7特殊矩阵?一些特殊矩阵?对角矩阵、三角矩阵、三对角矩阵?对称矩阵、 Hermite 对称矩阵、对称正定矩阵?正交矩阵、酉矩阵?初等置换阵、置换阵(排列阵) ?上 Hessenberg 矩阵 11 12 13 1 21 22 23 2 32 33 3 , 1 nnn n n nn a a a a a a a a a a a a a ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? 0 for 1 ij a i j ? ?? 8性质定理 1 (解的存在唯一性,教材 141 页) 定理 2 (对称正定矩阵的性质,教材 141 页) 定理 3 (对称正定矩阵的充分条件,教材 141 页) 定理 4 ( Jordan 标准型,教材 141 页) 9 Gauss 消去法例:直接法解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 3 3 4 4 6 3 x x x x x x x x x ? ?????? ????? ???解: 1 2 2 2 ( , ) 2 3 3 4 4 1 6 3 A b ? ?? ?? ?? ??? ?? ? 6 11 2 1 7 0 21 28 0 0 6?? ?? ???????? 1 7 8 9 2 1 1 2 2 2 001 ? ?? ?? ???? ??? 31x ?? 2 3 8 7 1 x x ? ?? 1 2 3 2 2 2 2 x x x ????? 10 Gauss 消去法高斯消去法的主要思路: 将系数矩阵 A 化为上三角矩阵,然后回代求解。 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ......... n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ? ?????? ??????? ?????? ??考虑 n 阶线性方程组: Ax b ?矩阵形式=