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求曲线、曲面积分的方法与技巧一. 曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一. 计算曲线积分?? L xdy ydx , 其中 L 是圆)0(2 22???yxyx 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。解1:AO ?的方程为????????,2 , 2xxy xxL 由,AO? x 由,20?.2 1 2 dxxx x dy????? L xdy ydx dxxx xxxx?????? 202 2]2 )1(2[dxxx xxdxxx xxxxx?????????? 202 202 22 )1(2 )1(2 ????分析:解 1 是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的, 因所求的积分为第二类曲线积分,曲线是有方向的,在这种解法中应注意参变量积分限的选定,应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2:在弧 AO ?上取)1,1(B 点, BO ?的方程为?????????,11 , 2yx yyL 由,BO?y 由,10?.1 2 dyy y dx??的方程为?????????,11 , 2yx yyL 由,AB?y 由,01?.1 2dyy ydx????? L xdy ydxdyyy ydyyy y????????????? 01 22 2 10 22 2)111 ()111 ( dyy y??? 102 21 2 dyy??? 10 212 dyy y??? 102 21 2 10212yy??dyy y???? 102 21 2 .0)011(2?????分析:解 2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解 1相同。不同的是以 y 为参数时,路径 L 不能用一个方程表示, 因此原曲线积分需分成两部分进行计算,在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。解3:AO ?的参数方程为, sin , cos 1?????yxL 由,ABO???由,0??. cos , sin????ddyddx????? L xdy ydx?????d] cos ) cos 1( sin [ 02?????????d]2 cos cos [ 0????.0)2 sin 2 1 sin (??????解4:AO ?的极坐标方程为, cos 2??r 因此参数方程为, cos 2 cos 2????rx, cos sin 2 sin?????rdyL 由,ABO???由,02 ??.) sin (cos 2, cos sin 4 22??????ddyddx?????? L xdy ydx???????d )] sin (cos cos 4 cos sin 8[ 2222 02 2?????.0)22 14 3422 13(4] cos 4 cos 3[4 4220?????????????????d 分析:解3和解 4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的,采用不同的参数,转化所得的定积分是不同的,但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5:添加辅助线段 AO ,利用格林公式求解。因,,xQyP??,011????????y Px Q 于是??????? AO L D dxdy xdy ydx ,0 而????? AOdx xdy ydx 02,00 故得??? L xdy ydx?? AO ??? AO 分析:在利用格林公式 dxdy y Px QdyyxQdxyxP D L)(),(),(??????????将所求曲线积分转化为二重积分计算时,当所求曲线积分的路径非封闭曲线时,需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分,但QP, 必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L 是D 的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段, AO 使曲线 AO L?为正向封闭曲线。解6:由于,,xQyP??,1??????y Px Q 于是此积分与路径无关, 故?? L xdy ydx??? OA xdy )0,2()0,0( 20?????? dx xdy ydx 分析:由于 QP, 在闭区域 D 上应具有一阶连续偏导数,且在 D 内,y Px Q?????因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关,因此可改变在 L 上的积分为在 OA 上积分,注意 O 点对应 L 的起点。一般选用与坐标