第八讲完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方, 那么我们就称这个数为完全平方数, 也叫做平方数。例如: 0,1,4,9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 324 , 361 , 400 , 441 , 484 , ……判断一个数是否为完全平方数,我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积,这就需要用到分解质因数的知识。阅读小材料: 毕达哥拉斯发现, 当小石子的数目是 1、4、9、 16 ……等数时, 小石子都能摆成正方形,他把这些数叫“正方形数”,如图所示: 分别记各图所示的小石子个数为 ia (i =1、2、3、……、 n) 不难发现: 1a =1= 21 2a =1+3=4= 22 3a =1+3+5=9= 23 4a =1+3+5+7= 16= 24 ……… na =1+3+5+…+ (2n - 1)=?? 2 )1(1nn???= 2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从 1 开始,任何连续个奇数之和都是完全平方数。(注:这个和其实就是奇数个数的平方) 【例一】求自然数列前 n 个奇数的和: 1+3+5+7+ ……+( 2n-1) 一讲一练:( 04 浙江五年级夏令营)袋子里共有 415 只小球,第一次从袋子里取出 1 只小球,第二次从袋子里取出 3 只小球,第三次从袋子里取出 5 只小球……依次地取球, 如果剩下的球不够取,则将剩下的球留在袋中。那么,最后袋中留下多少个球? 【例二】 1234567654321 ×(1+2+ ……+6+7+6+ ……+2+1 )是多少的平方? 练习一: 1×2×3×4×5×6× 45× 121 是多少的平方? 练习二: 2A = 1008 ×B ,其中 A,B 都是自然数, B 的最小值是( )。【例三】 36、 49、 60、 64、 72 的约数各有多少个?约数个数是奇数的数有什么特征? 一讲一练: 360 、 3969 、 7744 各有多少个约数? 【例四】( 01ABC )少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。这 200 个灯泡按 1到 200 编号,它们的亮暗规则是: 第一秒,全部灯泡变亮; 第二秒,凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态; 第三秒,凡编号为 3 的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态; 第四秒,凡编号为 4 的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮,改变原来的亮暗状态; 第五秒,凡编号为 5 的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮,改变原来的亮暗状态; 一般地,第 n 秒,凡编号为 n 的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态; 那么第 200 秒时,明亮的灯泡有( )个。练习一: 1~ 2012 中含有奇数个约数的数共有多少个? 练习二: 从 200 到 1800 的自然数中有奇数个约数的数有多少个? 【例五】从1到 1998 的所有自然数中,有多少个数乘以 72 后是完全平方数? 一讲一练: 自然数 1~ 2012 中,多少个数乘以 12 后得到一个完全平方数? 课后作业: 1 、公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数: ……他们发现: 1=1,1+3= 22 =4,1+3+5= 23
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