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函数单调性的判定方法判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
。一般地，设f为定义在D上的函数。假设对任何x1、X2D,yf(x),xD为严格增〔减〕函数，那么f必有反函数f1,且f1在其定义域f(D)上也是严格增〔减〕函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下
几个例子:
(x)xx3log2x32x1(x21)5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x10,x210由性质⑸可得2x1(x21)也是增函数；由单调函数的性质⑷知xx3log2x为增函数，再由性质⑴知函数f(x)xx3log2x32x1(x21)+5在(0,)为单调递增函数。
(x)-―(ab0),判断f(x)在其定义域上的单调性。
xb解:函数f(x)」^的定义域为(，b)(b,).
xb
先判断f(x)在(b,)内的单调性，由题可把f(x)土三转化为f(x)1号日，乂ab0故ab0由性质⑶可得亡为减函数；由性质⑵可得状为减函数；再ab.
由性质⑴可侍f(x)1在(b,)内是减函数。
xbxa同理可判断f(x)在(，b)内也是减函数。故函数f(x)—a在(，b)(b,)xb
内是减函数。
函数性质法只能借助丁我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先
把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四那么混合运算的形式，然后利用函数单
调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四那么混合运算形式就不能采用这种方法。

用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，假设函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升那么函数f(x)在区间I上是增函数；假设函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降那么函数f(x)在区间I上是减函数。、-1是定义在闭区间［-5,5止的函数yf(x)的图像，试判断其单调性。
Ar-.A
11
1334乌
-1x
解：由图像可知：函数yf(x)的单调区间有［-5,-2〕,［-2,1〕,［1,3〕,［3,5〕.其
中函数yf(x)在区间［-5,-2〕，［1,3〕上的图像是从左往右逐渐下降的，那么函数
yf(x)在区间［-5,-2〕，［1,3〕为减函数；函数yf(x)在区间［-2,1〕，［3,5］±的图像是
从往右逐渐上升的，那么函数yf(x)在区间［-2,1〕，［3,5止是增函数。
例6利用函数图像判断函数f(x)x1；g(x)2x;h(x)2xx1在［-3,3］±
的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x)f(x)g(x),作图一般步骤为歹U表、描点、作
图。首先作出f(x)x1和g(x)2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致
作出h(x)2xx1的图像，最后利用图像判断函数h(x)2xx1的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数f(x)x1在闭区间［-3,3］
上是单调增函数；g(x)2x在闭区间［-3,3/是单调增函数；利用物理上波的叠加可
以直接大致作出h(x)2xx1在闭区间［-3,3止图像，即h(x)2xx1在闭区
间［-3,3止是单调增函数。事实上此题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比拟直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对丁较容易作出图像的函数用图像法比拟简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对丁不易作图的
函数就不太适用了。但如果我们借助丁相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。

定理1:假设函数yf(u)在U内单调，ug(x)在X内单调，且集合{u|ug(x),xX}U〔1〕假设yf(u)是增函数，ug(x)是增〔减〕函数，那么yf[g(x)]是增〔减〕
函数。〔2〕假设yf(u)是减函数，ug(x)是增〔减〕函数，那么yf[g(x)]是减
〔增〕函数。
归纳此定理，可得口诀：同那么增，异那么减〔同增异减〕
复合函数单调性的四种情形可列表如下：
函数、单调性
第①种情形
第②种情形
第③种情形
第④种情形
内层函数ug(x)
外层函数yf(u)
复合函数yf[g(x)]
显然对丁大丁2次的复合函数此法也成立。
推论：假设函数yf(x)是K(K>2)