小学奥数知识点梳理—数论.docx

数论：1、奇偶；2、整除；3、余数；4、质数合数’5、约数倍数；6、平方;7、进制；8、位值。
一、奇偶：
一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：
奇数土奇数=偶数偶数土偶数=偶数
奇数土偶数=奇数偶数数差3-1=2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23—14=9除以5的余数等丁4,两个余数差为3+5-4=4
余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等丁a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X1魄以5的余数等丁3x1彳。
当余数的和比除数大时，所求的余数等丁余数之积再除以c的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X1赫以5的余数等
丁3X4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么与b「除以m的余数也相同.
应用：弃九法、同余定理
应用一、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由丁害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余丁它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对丁检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的。
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对丁模m同余，用式子表示为：a沛(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余丁b,模m。
同余定理重要性质及推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除。例如：17与11除以3的余数都是2,所以(1711)能被3整除.
(用式子表示为：如果有a沛(modm)，那么一定有a—b=mk,k是整数，即m|(a—b)余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R,使得：，所以可以通过计算
R被m除的余数来求得N被m除的余数.
整数N被2或5除的余数等丁N的个位数被2或5除的余数；
整数N被4或25除的余数等丁N的末两位数被4或25除的余数；
3）整数N被8或125除的余数等丁N的末三位数被8或125除的余数；
4）整数N被3或9除的余数等丁其各位数字之和被3或9除的余数；
5）整数N被11除的余数等丁N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被
11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；
6）整数N被7,11或13除的余数等丁先将整数N从个位起从右往左每三
位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数
就是原数被乙11或13除的余数.
四、质数与合数
（1）质数与合数定义
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
常用的100以的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个。
（2）质因数与分解