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求数列通项公式常用的七种方法
一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列
｝为等差或等比数列，根据通项公式 n
a = a +G-11/ 或q =a 1 进行求解.
n 1 n 1
例1：已知匕｝是一个等差数列，且° =• a -a =
2n — 1 /.
a -a = 1 a -a = 3 a -a = 5
n+l n
2 1 3 2 4 3
d — i
a =2n-3
（n>2）
n n-1
以上各式相力口得Q —a =1 + 3+ 5+ 7 Gm-3)= G-1)2 G > 2)
n 1
又a =0,所以Q =Gz — l》(n > 2),而a =0也适合上式， /. a =C — 1》 JwN*
1 n 1 n
五、累乘法：它与累加法类似，当数列匕｝中有上厂=/6）,即第〃项与第〃-1项的商是个有“规 n a
n-l
律”的数时，就可以用这种方法.
例 5： a =l,a = —^—a G > 2,n g 2V*）求通项a
i n n — 1 n~l
G > 2,n g 2V
n a n
分析：a = a /.—=
“ n-l n-i a n-l
n-l
a a a a .2 3 4 n ( -
故a = a ・T~・T_・f • = 1 =n \n > 2,n w N*丿
n 1 a a a a 123 n-l
1 2 3 n-l
而a =1也适合上式，所以Q = rSn w N)
1 n
六、构造法：
㈠、一次函数法：在数列% ｝中有a =ka +b （k,b均为常数且£鼻0）,从表面形式上来看Q是
n n n-l n
关于J的“-次函数”的形式，这时用下面的方法
而 a = ka + b
n n-l
一般化方法：设。+m = k(a +m)则a = ka + a-l)m
n «-l n «-l
即加=
k-1
b 7
故 Q + - 7 = k
n K—l
•••数列件+ -1
是以k为公比的等比数列，借助它去求a
n
例 6：已知。=l,o = 2a +1
1 n n-1
> 2,n e 求通项 a
n
分析:「a = 2a +1 :. a +l = 2a + 2 = 2(o +1)
n n-1 n n-1 n-1
•••数列｛a +1｝是以2为首项，2为公比的等比数列
n
:.a +1 = (° +l)-2«-i = 2«
n 1
故 Q =2n -1
n
ka
㈡、取倒数法：这种方法适用于a = —
« ma + p n-1
> 2,n e 2V*7 (k,m,p均为常数m^O ),
两边取倒数后得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于a二ka +b的式子.
n
n-1
例7：已知尸2,y
2a
tt—i—
a + 2
n-l
> 2,n e 2V*
求通项a
n
2a
■： a n-i—
n a +2
n-1
1/2+211
■n—1 = + —
la a 2
n-1 n-1
1 1
即一_一
a a
n n-1
> 2,n e N*
•••数列
是以q为首项,
以+为公差的等差数列
a 2 2 2