数学归纳法应用总结.doc

数学归纳法的应用数学归纳法是高考考查的重点内容之一. 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. (1) 数学归纳法的基本形式设 P(n) 是关于自然数 n 的命题,若 1° P(n 0) 成立( 奠基)2° 假设 P(k) 成立(k≥ n 0) ,可以推出 P(k +1) 成立( 归纳) ,则 P(n) 对一切大于等于 n 0 的自然数 n 都成立. (2) 数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明: 恒等式, 不等式, 数的整除性, 几何中计算问题, 数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题 1.( ★★★★★) 已知 f(n )=(2 n +7) ·3 n +9, 存在自然数 m, 使得对任意 n∈N, 都能使 m整除 f(n) ,则最大的 m 的值为() 2.( ★★★★) 用数学归纳法证明 3 k≥n 3(n≥ 3,n∈N) 第一步应验证() =1 =2 =3 =4 二、填空题 3.( ★★★★★) 观察下列式子: 4 74 13 12 11,3 53 12 11,2 32 11 22222?????????…则可归纳出_________. 4.( ★★★★) 已知 a 1=2 1 ,a n +1=3 3? n na a ,则a 2,a 3,a 4,a 5 的值分别为_________ ,由此猜想 a n =_________. 三、解答题 5.( ★★★★) 用数学归纳法证明 41 2? n +3 n +2 能被 13 整除,其中 n∈N *. 6.( ★★★★)若n 为大于 1 的自然数,求证: 24 13 2 12 11 1??????nnn ?. 7.( ★★★★★) 已知数列{b n} 是等差数列, b 1 =1, b 1+b 2+…+b 10 =145. (1) 求数列{b n} 的通项公式 b n; (2) 设数列{a n} 的通项 a n =log a (1+ nb 1 )( 其中 a>0且a≠ 1)记S n 是数列{a n} 的前 n 项和,试比较 S n与3 1 log ab n +1 的大小,并证明你的结论. 8.( ★★★★★) 设实数 q 满足|q|< 1, 数列{a n} 满足:a 1 =2, a 2≠ 0,a n·a n +1=-q n,求a n 表达式, 又如果 lim ?? n S 2n< 3,求q 的取值范围. 参考答案难点磁场解: 假设存在a、b、c 使题设的等式成立, 这时令n =1,2,3, 有???????????????????????????10 11 33970 )24(2 122 )(6 14c b acba cba cba 于是,对 n =1,2,3 下面等式成立 1·2 2 +2 ·3 2+…+n(n +1) 2=)10 11 3(12 )1( 2???nn nn 记S n =1 ·2 2 +2 ·3 2+…+n(n +1) 2设n=k 时上式成立,即 S k=12 )1(?kk (3k 2 +11 k +10) 那么 S k +1=S k +(k +1)( k +2) 2=2 )1(?kk (k +2)(3 k +5)+(