极限计算方法及例题.doc

1 极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多, 非常灵活, 给函授学员的学习带来较大困难, 而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结, 然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果 1 .定义: (各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。说明:(1) 一些最简单的数列或函数的极限( 极限值可以观察得到) 都可以用上面的极限严格定义证明,例如: )0,(0 lim????aba an b n 为常数且; 5)13( lim 2???x x ;????????时当不存在, 时当,1|| 1||0 lim q qq nn ;等等(2) 在后面求极限时,(1) 中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。 2 .极限运算法则定理 1 已知)( lim xf ,)( lim xg 都存在, 极限值分别为 A,B, 则下面极限都存在, 且有(1)BAxgxf???)]()( lim[ (2)BAxgxf???)()( lim (3))0(,)( )( lim 成立此时需??BB Axg xf 说明: 极限号下面的极限过程是一致的; 同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。 3 .两个重要极限(1)1 sin lim 0??x x x(2)ex xx??? 10)1( lim ;ex xx????) 11( lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,( 1964 —),副教授。例如: 13 3 sin lim 0??x x x ,ex xx???? 2 10)21( lim ,ex xx???? 3) 31( lim ;等等。 4 .等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0)。定理 3当0? x 时,下列函数都是无穷小(即极限是 0) ,且相互等价,即有: 2 x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1 ln( x?~1? xe 。说明:当上面每个函数中的自变量 x换成)(xg 时( 0)(? xg ),仍有上面的等价关系成立,例如: 当0? x 时,1 3? xe ~x3 ;)1 ln( 2x?~2x?。定理 4 如果函数)( ),( ),( ),( 11xgxfxgxf 都是 0xx?时的无穷小,且)(xf ~ )( 1xf ,)(xg ~)( 1xg ,则当)( )( lim 1 1 0xg xf xx?存在时, )( )( lim 0xg xf xx?也存在且等于)(xf)( )( lim 1 1 0xg xf xx?,即)( )( lim 0xg xf xx?=)( )( lim 1 1 0xg xf xx?。 5 .洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(xf 和)(xg 满足: (1))(xf 和)(xg 的极限都是 0 或都是无穷大; (2))(xf 和)(xg 都可导,且)(xg 的导数不为 0; (3))( )( lim xg xf??存在(或是无穷大); 则