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第一讲：一次函数与反比例函数
知识梳理
一次函数：
正比例函数：一般地，形如;y = Ax（左为常数，且化尹0）的函数叫做正比例函数，
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
正比例函数的性质：
当k〉0时，直线y = kx经过,则1<=
y =-在第一象限内的图象如图所示，点R, P2, P3，…，
一 3
［例8］两个反比例函数y = —
x
P2009在反比例函数y = ~图象上，它们的横坐标分别是Xi，X2，X3,…，X2009，纵坐标分别 X
是1, 3, 5,…，共2009个连续奇数，过点R, P2, P3,…，P2009分别作'轴的平行线，
与 y =—的图象交点依次是 Qi （xi，yD，Q2 g, y2），Q3（X3, y3），…，Q2009（X2009，Y2 x
009），贝 I y2 009 =o
［例9］如图，直线y = -- 乂 + 1与乂轴，y轴分别交于点A, B,以线段AB为直角边在第 一象限内作等腰直角三角形ABC, ZBAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,|),且AABP 的面积与AABC的面积相等，求
a的值。
k
［例 10］直线 y=kx (k乂0)与双曲线 y =—交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 • y2 = -36 ；
x
点C(x3,y3)在双曲线上，且Xj <0<x3 <x2,求尸3的取值范围。
k
［例11］如图，直线y = —x与双曲线y = —(k〉0)交于A, B两点，且点A的横坐标为4。
x
k
求k的值；(2)若双曲线y = — (k > 0)上一点C的纵坐标为8,求左AOC的面积; x
(3)过原点O的另一条直线L交双曲线y = -(k>0)于P, Q两点(P点在第一象限), X
且由点A, B, P, Q为顶点组成的四边形的面积为24,求点P的坐标。
［例12］已知：在矩形AOBC中，0B = 4 , OA = 3。分别以。B, 0A所在直线为x轴和y
轴，建立如图所示的平面直角坐标系。F是边BC±的一个动点（不与B,。重合），过F k
点的反比例函数y =生（化〉0）的图象与AC边交于点E。 x
（1） 求证：△AOE与的面积相等；
（2） 1己S = S△。时—S^ecf，求当上为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F,使得将沿EF对折后，C点恰好落在。3 上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。
典型例题答案
例1：答案：—1〈秫＜0
解析:
m<0
-(m +1) < 0
解析：
EC _ 1 . |_ 1 5 5 _ 25
(1)SMBE = I Se l=~X —X~ =—
1 1 2 2
⑵ SACDE = -CD- \ XE \=-x2x- = -
1 1 3 9
(3) SAOBD =-OB OD =-x-x3 = -
a°bd 2 2 2 4
例 4：答案：y = x + 3
解析：x2 +42 =(8 —x)2 Jr?+16=亍 一 i6x + 64
16x = 48 尤=3 .•・ M (0, 3), A (6, 0)
r f 1
6k + b-Q k =——
〈 =>1 2
b = 3 , Q
i [b = 3
例5：答案：20
解析；明・口 =地•为 =4,邑=一工2，口 =一、2
2X1% -7也又=2(-工2)• % -7*2 •(-%) = 5X2% = 20
例6：答案：12
解析：Saw=：x¥ = ¥，泸■
OD
OB
v
2 NODE
50
T
S&ODE = 6
例7：答案：2
解析：①双曲线与BC的交点E也是BC边的中点
② S&COE = S 随 OB — S 田 OF = ^AFOA
2
由已知，SAOAF =1 k=2, y =—
x
4
过点B的双曲线的解析式为y = —
x
例8：答案：
2
解析：
要求^2009，
yp
只要求工2009，
..*2009
只要求Vp
"^2009
• • >2009
6 2
4017 — 1339
= 2x2009-1 = 4017
3 4017
1339
而 * = 2w-l
例 9：解：A (00), B (0, 1), AB=2
Saabc = ^x2x2 = 2
SaA8P — 2
SAOBP + SAOBA _ ^\AOP = 2
V3-8 a =