双曲线性质92条及其证明.docx

双曲线
||P^|-|P^|| = 2a W —£ = 1 = e>l
a b d[
点P处的切线PT平分APFiF?在点P处的内角.
PT平分△PF/在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为件是 a b
o (a2 +/?2)2 nR,工。)
> k 丰 0且上尹 ± — |.
° a~-b~k- { b)
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
x — a sec (p o 1
P是双曲线{ (a>0, b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e-= .
y = btan(p 1-tan cp
2 2 2 2
设A,B为双曲线一-—-y-z- = k (a>0,b>0, k > O^k )上两点，其直线AB与双曲线一-—七~ = 1相父于RQ,则
a b a b
AP = BQ.
2 2
在双曲线与-% = 1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为
a b
仆2心
[y~V)
(疽 cosh2r + Z?2 sinh2 f), coth t
= -—,x=o^it = o,弦两端点在两支上 bx
-1 (a1 sinh2 t+b2 cosh2 ,cotht = -—,y = 00寸f = 0,
弦两端点在同支上
设S为双曲线亳-与=1 (a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=/,心3。,为)
a b
是AB中点，则当/ Z①S时，有(Xq)^ = 1 (。2 =决+胪,《=—)；当/ v①S时，有3())讪=—J4" +尸
c 2e a 2b
2 2
双曲线「一谷=1 (a>0,b>0)与直线Ax+By + C = 0有公共点的充要条件是A2a2-B2/?2 < C2.
a b
33 .双曲线(x_y _普)一 =1 ( a > 0,b > 0 )与直线Ax + By + C = 0有公共点的充要条件是 a b
A2«2 - B2b2 < (Ax0 + ByQ + C)2.
2 2
设双曲线二一与=1 (a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PFR中，记
a b
sin c/ c 冲毕⑶ ZPFlF2=/3,ZFlF2P = 7，则有 —— = — = e.
±(sm y - sin p) a
2 2
经过双曲线二-与=1 (a>0,b>0)的实轴的两端点Ai和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于Pi和P2，则
a b
\PiAi\-\P2A2\=b2.
2 2 i 111
己知双曲线一-—= 1 (b>a>0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点，且OP _L OQ .(1) — —= —
"2 b2 |OP|2 |0Q|2 a2 b2
4q2「2 a2b2
(2) |OP|2+|OQF的最小值为岑%； (3) Sa”。的最小值是与W.
b -a b -a
2 2
MN是经过双曲线三-与=1 (a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的
a b
弦，贝ij| AB^=2a\MN\.
2 2
MN是经过双曲线「―土 = 1 (a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP±MN,则
a b
2 1 _ 1 1
a\MN\~\OP\2
2 2
设双曲线二-土 = 1 (a>0,b>0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相 a b
2
交于P、Q两点，则直线AiP、A2Q()的交点N在直线/： x = —±.
m
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于M、N两点，则MFXNF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, Ai、A2为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M, A2P和 AiQ交于点N,则MFXNF.
/ v2 h2
设双曲线方程r -土 = 1,则斜率为k(k^0)的平行弦的中点必在直线/ ： y = kx的共貌直线y = * x上,而且kk'=二.
a b a
2 2
设A、B、C、D为双曲线二一土 = 1 (a>0,b>o)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为a,0 ,直线AB与CD a b
, nl \PA\-\PB\ b- cos'