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均值不等式求最值策略
应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”
忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求
最值呢？本文提出一些思路。
，化负为正均值不等式求最值策略
应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”
忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求
最值呢？本文提出一些思路。
，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关
一 一， 54
—,求函数y 4x 1 的最值。
44x 5
「一,5
解：因为x 一 4
所以4x 5 0
故 5 4x 0
~ ,4
所以y 4x 1
4x 5
4
4 [(5 的 5-4；]
4 2, (5 4x)
,5 4x
0
…一. 4
当且仅当5 4x ,即x
5 4x
3 .
去，故当x —时，ymax 0
4
7 , 3 ,， 7
一或x —时，等万成立，但 一
4 4 4
-不合条件，舍
4
，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关
利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下:
(1)变形法
x2 2 ,_、
(x R)的最小值。
,x2 1
解：因为x R
故y (「1 x21』
21
当且仅当VX1…,即X 0时，Ymin2
、x2 1
(2)配凑法
3,求函数y 2x —8—的最小值。 x 3
解：因为x 3
则有 2x 6 0, -8- 0 x 3
所以 y 2x -8- 2x 6 -8- 6 x 3x 3
2(x 3) -8- 6
x 3
-2(x 3)2 6 14 x 3
当且仅当2(x 3) —8—,即x 5时，ymin14
x 3

(1)拆项法
x2 3x 1
1时，求y 的最小值。
x 1
解：因为x 1
所以x 1 0
所以y
(x 1)2 5(x 1) 5
(x 1)
x 1
2Mx 1)5
x 1
2 5 5
当且仅当(x 1)25,即x 55 1取等号
另一解x 1 <51 (舍去)
所以 ymin 2,5 5
(2)倒数法
x
0,求函数y -的最大值。
x x 1
解：因为x 0
1 x故 ymax
(3)平方法
1 5
x 5,求函数y v2x 1 45 2x的最大值。
2
解：y2 2x 1 5 2x 2 (2x 1)(5 2x)
2 . 4x2 12x 5
4 2 4(x 3)2 4 8
由于y 0 所以y 2V2
当且仅当x - [-, 5]时取等号，所以y 2<2
2 2 2
x 1 y x
，寻求相等，过第三关
0 ,求y (2 —)(1 x)的最小值。 x
解：因为x 0
1
y (2 —)(1 x) 3 2x -
xx
1
3 2 2x 3 2 2 ,x
11 一
当且