高中数学竞赛辅导(证四点共圆).doc

1 高中数学竞赛辅导(证共圆问题) 一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆) △ ABC 内任一点,在△ ABC 内作三条直线, AL、 BM、 CN ,使∠ BAL= ∠ CAK, ∠ ABM= ∠ CBK, ∠ BCN= ∠ ACK, 且 AL=AK , BM=BK , CN=CK ,求证: K、L、M、N 四点共圆。 2 .给定锐角三角形△ ABC ,在 BC 边上取点 A 1 2 ,A ( 2A 位于 1A 与C 之间) ,在 AC 边上取点 B 1 2 ,B ( 2B 位于 1B 与A 之间) ,在 AB 边上取点 C 1 2 ,C ( 2C 位于 1C 与B 之间) ,使得∠ 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 AA A AA A BB B BB C ?? ????????, 直线 1 AA 、 1 BB 和 可构成一个三角形, 直线 2 AA 、 2 BB 和 可构成另一个三角形, 直线 1 AA 、 1 BB 和 , 证明: 这两个三角形的六个顶点共圆。 2 1 2 3 4 A A A A 为圆的内接四边形, 1 2 3 4 , , , H H H H 分别为 2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3 , , , A A A A A A A A A A A A ? ???的垂心,求证: 1 2 3 4 , , , H H H H 四点共圆。二、利用角的关系(1) 证明四点为顶点的四边形的内对角互补, 则四点共圆;(2) 证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角,则四点共圆;(3 )线段同旁张等角,则四点共圆。 4 .凸四边形 ABCD 中, AC? BD ,作垂足 E 关于 AB、 BC、 CD、 DA 的对称点 P、Q、R、S,求证: P、Q、R、S 四点共圆。 5. 已知 O是⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3 的公共点,点A、B、C 分别是⊙O 2与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 2 的交点,若 A、B、C 三点共线,求证: O、O 1、O 2、O 3 四点共圆。 3 6 .已知在凸五边形 ABCDE 中, 0 3 , , 180 2 BAE BC CD DE BCD CDE ? ?? ????????,求证: A、B、C、D、E 五点共圆。 7. 引三条直线分别平行于三角形的三边, 每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的长度,同时,对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧,证明:三角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理 8. 在