正弦定理.pptx

第一章　解三角形
　正弦定理和余弦定理
　正弦定理
【自主预习】
主题:正弦定理
△ABC中, 存在怎样的关系?
提示:在Rt△ABC中,因为
故
同理
因此
又因为C=90°,故
目所给的条件.

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆半
径).
(2) (R为△ABC外接圆
半径).
(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
(4)
【题型探究】
类型一:已知两角和一边解三角形
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的
对边分别为a,b,c,若 a=1,则b=__
______.
(2)(2015·广东高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,若 则b=________.
【解题指南】(1)先借助三角形内角和定理及三角函数
求出sinB,然后由正弦定理求出b.
(2)由sinB= ,求出角B,进而得出角A的大小,然后由正
弦定理求出b.
【解析】(1)因为
所以
所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC=
又 所以b=
答案:
(2)因为sinB= 且B∈(0,π),所以B= 或 .
又因为C= ,所以B= ,A=π-(B+C)= .
又因为a= ,由正弦定理得
即 解得b=1.
答案:1
【规律总结】已知两角和一边解三角形的步骤
【巩固训练】(2015·福建高考改编)若△ABC中,
A=45°,C=75°,求BC,AB及B.
【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°
得B=180°-A-C=60°,
在△ABC中,由正弦定理得
故
【补偿训练】在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,解此三角形.
【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理
得
由 得
类型二:已知两边及其中一边的对角解三角形
【典例2】(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所
对的边分别为a,b, 则B=____
________.
(2)等腰三角形一腰上的高是 ,这条高与底边的夹解
为60°,则底边长为________.
【解题指南】(1)由正弦定理即可求出角B.
(2)画出图形,求出另外一角,利用正弦定理求解.
【解析】(1)依题意,由正弦定理知
得出 由于0<B<π,所以B= 或
答案: 或
(2)当顶角A为锐角时,如图所示,BD= ,∠DBC=60°,
则∠DCB=30°,在直角△BCD中,根据正弦定理可得BC=
当顶角A为钝角时,同理可得底
边BC也为2 .
答案:2
【延伸探究】(1)条件不变,试求边长c.
【解析】由本例(1)解析知B= 或
当B= 时,
所以
当B= 时,
故c=a=1.
(1)中的“b= ”改为“b= ”,其他条件
不变,试求B.
【解析】由正弦定理得
即sinB=
由于0<B<π,所以B= 或 π.
【规律总结】由两边一对角求另一对角的三个步骤
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
【巩固训练】在△ABC中,已知a= ,b=1,A=45°,求角
B,C及边c.
【解析】由正弦定理 得,
sinB=
因为a>b,所以A>B,所以B为锐角.
所以B=30°,所以C=180°-(A+B)=105°.
由正弦定理, 得,
类型三:利用正弦定理判断三角形形状
【典例3】(2016·东营高二检测)已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且A,B为△ABC的内角,a,b为A,B的对边,判断△ABC的形状.
【解题指南】先由两根之积等于两根之和,找出边角关系,再由正弦定理求解.
【解析】设已知方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2