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一注基础高等数学知识总结
高等数学知识总结
一、 空间解析几何 6
1． 向量代数 6
2． 曲面及其方程 8
3． 空间曲线及其方程 9
4． 平面及其方程 9
5． 空间直线及其方程 10
二、 极限和连续 12面上的投影曲线方程为
平面及其方程
平面方程
一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一个法线向量n为 n=(A, B, C)】
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【通过点M0(x0, y0, z0)】
截距式方程： 【a、b、c依次为平面在x、y、z轴上的截距】
两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角
平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0;
平面P 1和P 2平行或重合.
点P0(x0, y0, z0)到平面的距离
空间直线及其方程
直线方程
一般方程： （两平面的交线）
点向式方程.： 【过点M0(x0, y0, x0)】
参数方程： 【且方向向量为s = (m, n, p)】
两点式： 【过点M1(x1, y1, x1)】
两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)
1）L 1^L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0; 2） L1 // L2Û.
直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角
1）L^P Û; 2） L // P Û Am+Bn+Cp=0.
平面束：通过定直线的所有平面的全体称为平面束
过直线的平面束方程为 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0
极限和连续
数列极限
数列极限：若数列及常数 ，当时，有，则称该数列的极限为，记作或。此时也称数列收敛 ，否则称数列发散。（学会用定义证明数列极限，关键在于如何求得N）
数列极限的四则运算：若则有
a.； b.； c.
夹逼准则：设，当时，有，则
函数极限
，当时，有
，当时，有
左极限
右极限
几个重要极限
2） 3） 4）
5） 6） 7）
无穷小量
无穷小量：若，则称函数是当时的无穷小量。
等价无穷小定理：设且存在，则
熟记的等价无穷小：时，，，，，，，，，，
连续函数
函数在处连续 ==
间断点：a. 第一类间断点：及均存在，若称为可去间断点；若称为跳跃间断点；b. 第二类间断点：及中至少一个不存在，若其中一个为，称为无穷间断点；若其中一个为振荡，称为振荡间断点。
闭区间上连续函数的性质：
零点定理：设，且 则必有使得
介质定理：设，则上能取到；
最大值最小值定理：设，则上能取到最大值和最小值；
一元函数的微分学
导数的定义
设函数，在的某邻域内有定义，若存在，则称函数在点处可导。并称此极限为在处的导数，记做；。
几何意义：曲线在处的斜率，。
可导性与连续性的关系： （连续未必可导）
导数运算
四则运算：1） 2） 3）
复合函数求导法则：
参数方程求导法：对参数方程， ，有
常数和基本初等函数的导数：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺
⑻ ⑼ ⑽ ⑾
⑿ ⒀ ⒁
⒂ ⒃ ⒄ ⒅
微分概念及其运算法则
微分定义：若函数在点的增量可表示为，为不依赖于的常数，则称函数在点处可微，记。
定理：在点处可微即
微分运算法则：1）；　　　2）；
； 4）
微分形式不变性：设，分别可微，则复合函数的微分
Lagrange中值定理
费马(Fermat)引理：设是的极值点，在可微，则。
罗尔(Rolle)定理：满足：1）在区间[a , b]上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导3) 在(a , b)内至少存在一点，使得。
拉格朗日中值定理：满足：1）在区间[a , b]上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导 在(a , b)内至少存在一点，使得
推论：若函数在区间I上满足，则在I上必为常数.
函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性的判定法：设函数在开区间I上可导，若，则在I内递增（递减）。
函数的极值与最大值最小值
极值可疑