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2020-2021学年四川省绵阳市涪城区东辰国际学校
九年级（上）自主招生数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
在平面直角坐标系中，点P （ - 3
求证：FD是OO的切线；
取BE的中点M,连接MF,若OO的半径为2,求MF的长.
如图，有长为30加的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道 篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边为劝1.
如果要围成面积为63加2的花圃，AB的长是多少？
能否围成面积为67«?的花圃？如果能，请求出ab的长；如果不能，请说明理由.
X
=-—JT+bx+c 经过点 B,
图2
，直线y=^-x+1分别与x轴，y轴交于点A, B,抛物线y
4
且与直线y=lx+l的另一个交点为C ( -4,")
4
求抛物线的解析式；
如图2,点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为t ( -4<r<0),求△DBC面
积的最大值；
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得ABCP是以BC为直角边的直角三角形？ 若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由.
B卷
一、填空题(共5小题，每小题4分，共20分)
已知关于x的一元二次方程(1 - 2k) ? - 2Vk+3r- 1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围—•
如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,，
当时，ZAOE的大小是 .
E
R C
的半径为 5,弦 AB=S,弦 CD=6, AB//CD,贝U AC= .
28二次函数y=- (x - 1) 2+＜0时，y的最小值为2加，最大值为2", 则m+2n的值为 .
29在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1, 0),函数y=/+ (加-2) x+2/n - 1的图 .
二、解答题(共3小题，共30分)
/+ (2m+l) X+/712 - 1=0有两个不相等的实数根.
求加的取值范围；
若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程 的根.
31 .已知OO是ZVIBC的外接圆，P为劣弧BC上一动点.
如图1,若AABC为正三角形，探究用，PB, PC之间的数量关系，并说明理由；
如图2,若AABC为等腰直角三角形，=BC.
若Q为半圆AB—点，AQ+BQ^14,求四边形ACBQ的面积；
探究丹，PB, PC之间的数量关系，并说明理由.
團1
图2
,抛物线y=F- (a+1) x+a与x轴交于A, B两点、(点A位于点B的左侧)，与
y轴负半轴交于点C,若AB=4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2, E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF//AC交抛物线于点F,过
E作EG丄x轴交AC于点M,过F作丄x轴交AC于点N,当四边形EMNF的周长最
大值时，求点E的横坐标;
在x轴下方的抛物线上是否存在一点0使得以0、C、B、O为顶点的四边形被对
角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
图1
图2
参考答案
（共12小题）
1.
B.
2.
C.
3.
C.
4.
B.
5.
B.
6.
A.
7.
B.
8.
B.
9.
B.
10.
C.
11.
B.
12.
B.
二.
填空题（共6小题）
13.
±2屈
14.
13.
15.
(2屈 4).
16.
-2或0・
4
17.
96.
18.
(1, 2).
三、解答题（）
解：（1）原式=-1+4 - （2 - -^3） - 1 =-1+4 - 2+a/3 - 1
=用；
/.x2 - 2x=7,
则 x2 - 2x+l=7+l,即(x - 1) 2=8,
.'.x - 1 = 土2©,
'.x\ = \+2y[2> 比=1-2血.
20.
解：(1)如图，
(2)点 Ai、Bi 的坐标分别为：(-2, 3), ( - 3, 1)；
故答案为：(-2, 3), ( - 3, 1)；
(3) 5aA1OB1 = 3X3 - AX2X3 - Axi X2 - JlX3X1=丄.
解：•.•关于x的一元二次方程2? - 2x+3m - 1=0的两个实数根是xi, x2,
A =b2 - 4ac=4 - 4