第六章 定积分.ppt

第六章 定积分98349
被积函数
被积表达式
积分变量
记为
积分上限
积分下限
积分和
8
说明：
1.
2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；
3.
可积的充分条件：
9
42
设 f (x)是连续函数, 且
两边在[0, 1]上积分,
求 f (x) .
即
解
53



小结
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
54
练习：
P18 习题
1.(2)(4) 3. 4.(2)(3) 5. 双号
55
第五节 定积分的换元积分法
定理
则有
56
证
57
注意:
(1)
应用定积分的换元法时,与不定积分比较，
多一事：换上下限；
少一事：不必回代；
(2)
(3)
逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
58
例1
例2
例3
59
例4 计算
解
原式
60
例5 计算
解
令
原式
61
例6 计算
解
令
原式
例6-18
62
例7 计算
解
令
原式
63
例8
解
所以平均值等于
64
例9
解
令
原式
65
证
利用函数的对称性简化计算.
例6-23
66
y
x
o
y
x
o
67
例10
奇函数
奇函数
奇函数
68
证
例11
69
例12
证
(1)
70
证
(2)
令
例12
例6-26
71
72
证
(3)
令
并计算
例12
例6-26
73
74
解
例13
令
则
两边求导，
即
再求导，得
75
例14
解
例6-21
76
练习：
P24 习题
1.(3)(4)(5)(7)(12) 2.(1)(3)(5) 3. 6. 7.
77
练习：
设f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx, 求
分部积分的过程：
指三幂对反
78
第六节 定积分的分部积分法
定理
例1
例2
79
例3
例4
80
例5 计算
分部积分法与换元法结合.
解
令
原式
81
例6 计算
解
令
原式
则
解得
82
例7 计算
解
得到递推公式：
83
而
若n为正偶数,则
若n为大于1的奇数,则
84
即
例如，
另外，
瓦里斯公式
85
练习：
P28 习题
1.(2)(3)(4)(5)(6)
86
第七节 定积分的应用
一、平面图形的面积
面积元素:
(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x)  0), 直线 x=a, x=b (a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
y
o
面积
87
若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为
x
y
o
a
b
88
x
y
o
a
b
面积元素:
(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平面图形的面积:
89
c
x
y
o
a
b
一般地，
90
d
c
x
y
o
及y轴围成的平面图形的面积为
x
y
o
d
c
一般地，
91
及y轴围成的平面图形的面积为：
d
c
x
y
o
d
c
x
y
o
一般地，
92
解
先求两曲线的交点
选x为积分变量,
例1
例6-37
93
例2
围成的平面图形的面积.
x
o
y
解
由对称性,
交点
94
解
由对称性知,
例3
总面积等于第一象限部分面积的4倍,
例6-42
95
x
y
利用圆面积
解
由对称性知,
例3
总面积等于第一象限部分面积的4倍,
96
解
两曲线的交点
例4
此法麻烦。
例6-40
97
此题选 y 为积分变量比较好,
选择积分变量的原则：
(1)尽量少分块；
(2)积分容易.
98
例5
解
99
例6
作草图如右,
解
y
1
2
x
100
解
例7
y = x2
t
1
1
101
练习：
P45