第六章 定积分.ppt

第六章_定积分
定积分(简称积分)
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念间[－1,2]上的最大值和最小值.
令 ,得唯一驻点x=0,
且为极大值点,也是最大值点
最大值 M=f(0)=e0=1
由定积分性质3可知
又 f(－1)=e－1, f(2)=e－4,
所以最小值 m=f(2)=e－4.
(2)设 ,求f(x)在 上的最大值和最小值.
当 时,x<tanx,所以
从而f(x)在 上严格单调下降,故
由性质3,有
即
由曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形的面积为
解
变上限积分与对积分上限变量求导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x
( )，积分 存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间
微分学基本定理
变化的，因此常记为
定理1
证明
由积分中值定理有
结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限
x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.
可以证明 原函数存在定理
对于变上限的复合函数有以下两个推论
推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则
(被积函数代积分上限且积分上限对x求导)
推论2 若ƒ(x)在[a, b]上连续,
例 计算下列各题
证
在[a, b]上可导, 则
定理 (原函数存在定理)
注3 由定理1知积分上限的函数是被积函数的一个原函数.
若ƒ(x)在[a, b]上连续, 则
的一个原函数.
是ƒ(x)在[a, b]上
注4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, 又揭示了
定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数
来计算定积分的公式.
求下列极限:
解 (1)属 型, 对分子分母分别求导,有
(2) 型,分母用无穷小量替换,再用洛必达法则
(3) 型,分母用无穷小量替换后用洛必达法则
(4)该题在积分号内含有 ,因积分变量是t,在积分过程中, 是常数,故可以提到积分号外,经过变换形式后再用洛必达法则求极限.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
, .证明
证 由于f(x)在[]上连续,故F(x)在(a,b)内可导,且
对变限积分 用积分中值定理,知存在ξ∈(a, x),使
因此
又由 ,可知f(x)在(a,b)内单调增加,因而,当x>ξ有f(x)≥f(ξ),所以,当x∈(a,b)时
设f(x)连续, ,求
解
定理2 微积分学基本定理
微积分学基本定理
证明
上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
基本积分公式
例1 求
解
例2 求
解
例3 求
解
例4 求
解
例5　计算
，其中
解
例６　计算由曲线 、直线 x=2 与x轴围成的图形的面积．
解　由定积分的几何意义，得
求下列积分:
解
(3)先去掉被积函数的绝对值符号
设
求
解
设f(x