高数上册知识点.doc

高等数学（上）知识点
1
高等数学上册知识点
函数与极限
函数
函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
反函数、复合函数、函数的运算；
初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、2）；
则.
Cauchy中值定理：若函数满足：
1）； 2）；3）
则
高等数学（上）知识点
1

洛必达法则
Taylor公式
阶Taylor公式：
在与之间.
当时，成为阶麦克劳林公式：
高等数学（上）知识点
1

在与之间.
常见函数的麦克劳林公式：
1）
在与之间，；
2）
在与之间，；
3）
在与之间，；
4）
在与之间，
5）
，
在与之间，.
单调性及极值
单调性判别法：，，则若，则单调增加；则若
高等数学（上）知识点
1

，则单调减少.
极值及其判定定理：
必要条件：在可导，若为的极值点，则.
第一充分条件：在的邻域内可导，且，则①若当时，，当时，，则为极大值点；②若当时，，当时，，则为极小值点；③若在的两侧不变号，则不是极值点.
第二充分条件：在处二阶可导，且，，则
①若，则为极大值点；②若，则为极小值点.
凹凸性及其判断，拐点
1）在区间I上连续，若，则称在区间I 上的图形是凹的；若，则称在区间I 上的图形是凸的.
2）判定定理：在上连续，在上有一阶、二阶导数，则
a) 若,则在上的图形是凹的；
b) 若,则在上的图形是凸的.
3）拐点：设在区间I上连续，是的内点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，则称点为曲线的拐点.
不等式证明
利用微分中值定理；
利用函数单调性；
高等数学（上）知识点
1

利用极值（最值）.
方程根的讨论
连续函数的介值定理；
Rolle定理；
函数的单调性；
极值、最值；
凹凸性.
渐近线
铅直渐近线：，则为一条铅直渐近线；
水平渐近线：，则为一条水平渐近线；
斜渐近线：存在，则为一条斜
渐近线.
图形描绘
步骤 :
确定函数的定义域，并考察其对称性及周期性；
求并求出及为零和不存在的点；
列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;
求渐近线;
确定某些特殊点, 描绘函数图形.
不定积分
概念和性质
高等数学（上）知识点
1

原函数：在区间I上，若函数可导，且，则称为的一个原函数.
不定积分：在区间I上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.
基本积分表（P188，13个公式）；
性质（线性性）.

换元积分法
第一类换元法（凑微分）：
第二类换元法（变量代换）：
分部积分法：
有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.
定积分
概念与性质：
定义：
性质：（7条）
性质7 （积分中值定理） 函数在区间上连续，则，使
高等数学（上）知识点
1

（平均值：）
微积分基本公式（N—L公式）
变上限积分：设，则
推广：
N—L公式：若为的一个原函数，则
换元法和分部积分
换元法：
分部积分法：
反常积分
无穷积分：
瑕积分：
（a为瑕点）
（b为瑕点）
高等数学（上）知识点
1

两个重要的反常积分：
1)
2)
定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标：

极坐标：
高等数学（上）知识点
1

体积
旋转体体积：
a)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积：
b)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积： （柱壳法）
平行截面面积已知的立体：
弧长
直角坐标：
参数方程：
极坐标：
微分方程
概念
高等数学（上）知识点
1

微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
解：使微分方程成为恒等式的函数.
通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.
变量可分离的方程
，两边积分
齐次型方程
，设，则；
或，设，则
一阶线性微分方程