加权残值法(全).ppt

加权残值法(全)
第一页，共16页。
加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题：
Lu－f=0（在域V内）
（）
Gu－g=0（在边界S上）
（）
这里，u为待求的未知函数，L和G分加权残值法(全)
第一页，共16页。
加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题：
Lu－f=0（在域V内）
（）
Gu－g=0（在边界S上）
（）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域内和边界上的已知项。
第二页，共16页。
加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（）、（）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的试函数：
（）
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。
将（）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS，即：
第三页，共16页。
加权残值法的基本概念
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（）。
（）
（）
（）
（）
第四页，共16页。
按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类：
内部法
边界法
混合法
加权残值法的基本概念
第五页，共16页。
加权残值法的基本方法
据权函数的形式分类，主要有以下五种方法：
（1）最小二乘法（Least Square Method）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的残值平方积分：
（）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
第六页，共16页。
加权残值法的基本方法
（）
即可得到最小二乘法的基本方程：
（）
可见，最小二乘法就是将权函数取作 。式（）将给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
（i=1，2，…N）
（i=1，2，…N）
第七页，共16页。
（2）配点法（Collocation Method）
加权残值法的基本方法
如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权函数，即：
（）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
（）
（i=1，2，…N）
第八页，共16页。
（2）配点法（Collocation Method）
加权残值法的基本方法
对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
（i=1，2，…N）
（）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
第九页，共16页。
加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
（）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
（i=1，2，…N）
（）
第十页，共16页。
加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。
第十一页，共16页。
加权残值法的基本方法
（4）伽辽金法（Galerkin Method）
伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。
伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：
Wi=vi， （i=1，2，…N）
（）
（i=1，2，…N）
（）
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。