立体几何中的数学思想.doc

专题讲座立体几何中的数学思想方法
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一、转变的思想方法2
练习18
练习1答案8
二、分类议论的思想方法9
练习210
练习2答案10
三
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴

AFAE
FMB1E
∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE
∵AD∥BC
∴FH∥BC，BCBB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
FH∥AD可得BFBHBDBA
BF＝B1E，BD＝AB1
B1EBHAB1BA
∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明：证法一用了证线面平行，，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
3、地点关系中的定性与定量的转变
立体几何中对点、线、面在空间中特定地点关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有
联系又有区别，在一定条件下还能够互相转变。线线、线面、面面平行,这些定性描绘,表示线线、线面、
面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反应了它们的垂直关
系，反之亦然。可赐教材中深刻地蕴含着地点关系中的定性与定量的转变关系。
，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)
BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.
解析：本题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路

.
解∵PA⊥AB，∴∠

APB＝90°
在

Rt

APB中，∵∠

ABP＝45°，设

PA＝a，
则PB＝a,AB＝

2a,∵PB⊥PC，在

Rt

PBC中，
∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝

3a.
∵AP⊥PC

∴在

Rt

APC中，AC＝

PA2

PC2

＝

a2

(3a)2

＝2a
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面

PAB，
∴BC在平面

PBC上的射影是

BP.
∠CBP是

CB与平面

PAB所成的角
∵∠PBC＝60°，∴

BC与平面

PBA的角为

60°.
(2)由上知，

PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.
∴M为

AB的中点，则

AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面

PCM.
说明

要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，经过数据特点，发现解题捷径

.


9－19，在棱长为

a的正方体

ABCD—

ABCD中，O是AC、BD１111

的交点，

E、F分别是

AB与
AD的中点．
9－19
1）求异面直线OD1与A1C1所成角的大小；
2）求异面直线EF与A1C1所成角的大小；
解析：（1）∵
A1C1∥AC，∴
OD1与AC所成的锐角或直角就是OD1
与A1C1所成的角，连结AD1、CD1，
在△AA1D1和△CC1D1，∵
AA1＝CC1，A1D1C1D1，
AA1D1
CC1D1
90，∴△AA1D1≌△
CC1D1，∴AD1CD1．