绝对值型不等式和三角不等式类型.doc

绝对值型不等式和三角不等式种类
绝对值型不等式和三角不等式种类
绝对值型不等式和三角不等式种类
绝对值型不等式和三角不等式
定理

1

若是a,b是实数，则|a+b|
绝对不等式种类
绝对值型不等式和三角不等式种类
绝对值型不等式和三角不等式种类
4，x<－1，
y
＝
－
－
＋
1|
＝2－2x，－1≤x≤3，
∴－≤
≤
4.
∴
y
max＝，
min＝－
4.
|x3|
|x
4y
4y
4，x>3.
(2)|x|≤1，|a|≤1，
|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|
|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|
1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1
1
2
5
5
1
5
＝－(|x|－)＋≤.
∴|x|＝
时，|f(x)|获得最大值.
2
4
4
2
4
规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转变，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的重点．
3．若
a
，∈R，且|
a
|≤3，||
≤2则|
＋|的最大值是________，最小值是________．
b
b
ab
解析：|
a
|－|
b
|≤|
＋|≤|
a
|＋|
b
|，∴1＝3－2≤|
＋
|≤3＋2＝：51
ab
ab
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，
当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|获得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．
解：<|
x
＋1|－|
x
－2|对任意实数恒成立，∴
<[|
＋1|－|
x
－2|]min.
a
ax
||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴[|
＋1|－|
－2|]min
＝－3.∴
<－
a
的取值范围为(－∞，－3)．
x
x
a
题型三
解绝对值三角不等式
【例2】已知函数
f
(
)＝|
x
－1|＋|
x
－2|，若不等式|
a
＋|＋|
－
|≥||
f
( )对
a
≠0，、
x
b
ab
a
x
a
∈R恒成立，务实数
x
的范围.
b
【解析】由|
a
＋|
＋|
－
|≥||
f
(
x
)且
a
≠0得|a＋b|＋|
a－b|
≥
(
x
).
b
ab
a
|a|
f
|a＋b|＋|a－b|
|a＋b＋a－b|
又因为
|
a|
≥
|a|
＝2，则有2≥f(x).
5
解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤.
2
4
【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋a对任意的实数x恒成立，则实数
a的取值范围是.【解析】(－∞，0)∪{2}