高等代数 知识点.docx

第一章
定义 1 数域
定义2数域P上的一元多项式
定义 3 多项式相等
定义 4 一元多项式环
带余除法
定义 5 整除
定理 1 r（x）=0
定义 6 最大公因式
定理 2 d（x）=u（x）f（x） +v（x）g（全是零
Al …
准对角矩阵的形式如下A=[ ； ••・
0…
一种特殊形式。而对角矩阵是准对角矩阵的一种特殊形式 对于有相同分块的两个准对角矩阵，如果他们相应的分块 是同级的，那么它们的加法，乘法所得的结果仍然是准对 角矩阵
定义 10 由单位矩阵经过一系列的初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
注意：1 P (i, j)表示互换E的i, j行互换E的i, j列；P (i (c)) 表示用数域P的一个非零的常数c乘E的i行或i列； P(i，j (k))表示把矩阵E的j行乘k加到i行上，或 者是表示矩阵E的i列乘k加到j列上。
2 P(i, j)-1= P(i, j) , P(i(c))-1= P(i(c-1)) , P(i, j(k))-1= P(i, j(-k))
定义11如果B可以由A经过一系列的初等变换得到，那么就称 A与B等价
1 … 0
定理5任意一个sXn的矩阵A都与一形式为丨1丨的矩
_0 …0_
阵等价，那么它就称为A的标准形，其中1的个数等于 A 的秩1 的个数可以是 0。
等价的性质如果两个sXm的矩阵A, B,他么人呢等价的充要 条件是他们的秩相等。
注意；矩阵A, B等价一A, B的秩相等一A, B的标准形相同o 存在初等矩阵P1P2・・・Ps, Q1Q2・・・Qm，使得
A=P1P2・・・PsB Q1Q2・・・Qm
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩 阵的乘积的形式，即A= Q1Q2・・・Qm。A与E等价。
推论 1 两个 sX m 的矩阵 A B 等价的充要条件是存在可逆的 sX s 矩阵 P, mX m 矩阵 Q 使得 A=PBQ
推论 2 可逆矩阵一定能经过一系列初等变换转换成单位矩阵
推论2的应用；n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E合成一个新
的 nX2n 矩阵（A E）, Q1Q2・・・Qm （A E）= （E A-1）
单位矩阵的分块f.
LEm
En] [P 0 ] [Em
0 ] [0 En] [ 0
相应的得到初等分块矩阵
］常鋼罟綁以上5个仅仅
是行变换得到的，另外列变换还有 5 个）
■1
1'
1
n'
.0
1-
n=
0
l-
，［
特例；
cos a sin a
一 sin a] cos a ]n=
cosna sinna
—sin na'
cosna
课本 P198 第二题的（7）（8） 定义 如果 AB=BA 那么矩阵 B 就称为与 A 可交换 性质 1 与对角矩阵可交换的矩阵仍然是对角矩阵
2假设A是nXn矩阵，证明：存在一个nXn非零的矩阵B
使得AB=0的充要条件是|A|=0
3 nXn矩阵A, B,满足A
B=0,那么秩A+秩B< n
注意：求A-1的方法1直接假设A-1的矩阵，使得A与假设 的矩阵相乘得E,利用矩阵对应元素相等得出A-1 方法 2 利用 A-1 =1/d A*
方法3利用（A, E）得出（E, A-1）
第五章 二次型
二次型的形式：
f(x1,X2…呦〜片如空叭卜•・+2ainXiXn+a22X22+・•・+2a2nX2Xn+―
+annxnxn
定义 1 非退化的线性替换
注：1 二次型的矩阵都是对称的
f(x1,x2 — xn)=X'AX=2«aijXiYj
非退化线性替换 X=CY, 则 X'AX=Y'C'ACY=Y'BY
定义 2 合同 满足存在数域 P 上的可逆的 n 级矩阵使得
B=CAC (其中A不一定是对称的矩阵)
合同的性质：反身性，对称性，传递性 注意：二次型经过非退化的线性替换 ，新的二次型的矩阵与
原来的二次型矩阵是合同的
定理1数域P上若任意一个二次型都可以经过非退化的线性
替换转化成平方和的形式
定理 2 在数域 P 上，任何一个对称矩阵都合同于一个对角矩 阵
二次型转化成标准形后的矩阵是对角矩阵 二次型的规范性完全被它的秩确定
定理3 任意一个复系数的二次型，规范性唯一
1・・・0 0
任意一个对称矩阵合同于丨••・1丨，两个复数对称矩阵合 _0・・・0 0_
同的充要条件是他们的秩相等
定理 4 任意一个实数域的二次型的规范性唯一
1 ・・・0 0
定理5 任意一个实对称矩阵合同于丨-1 •-1 :
_0 ・・・0 0_
定义3正惯性指数P，负惯性指数q,符号差p-q。
其中p+