高中数学同步ppt课件：等比数列习题课.ppt

等比数列习题课
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1. 等比数列的定义：
定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公
比通常用字母 q 来表示.
2. 等比数列的等比数列习题课
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1. 等比数列的定义：
定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公
比通常用字母 q 来表示.
2. 等比数列的通项公式：
a n = a 1 q n –1 .
an = amq n-m
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3. 等比数列的前 n 项和公式：
4. 递推公式 ( q 为公比 )：
5. 等比中项：
6. 等比数列的一条性质：分别与首末两项等
距离的两项的积等于首末两项的积 .
对任意 m ，n ，p ，q  N*，当 m + n = p + q
时，有 am · an = ap · aq .
7. { an } 为等比数列的两个充要条件：
例 1 在等比数列 { a n } 中，a 1 = 2 ，a 7 a 8 = 80 ,
求 a 14 .
解：因为{ a n }为等比数列 ，所以 a 1a 14 = a 7 a 8 .
例 题 解 析
例2.（2009 宁夏海南 文）等比数列{an}的公比q>0,
已知a2=1,an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= .
解析: 由 an+2+an+1=6an 得：qn+1+qn=6qn-1
即 q2+q-6=0，q>0, 解得：q＝2，
，
＝
又 a2=1 所以 ，
例 3 、已知数列 { a n } 为等比数列，
（1）若 m，n，p 成等差数列，求证 a m，a n，a p成等比数列 .
（2）若 a 3 = -2 ，a 6 = 54 ，求 a 9 .
证明： （1）由所给条件，可得 n – m = p - n .
所以，a m，a n，a p成等比数列 .
在一个等比数列中，项数成等差数列的各项所形成的数列仍然是等比数列 .
例 3 、已知数列 { a n } 为等比数列，
（1）若 m，n，p 成等差数列，求证 a m，a n，a p成等比数列 .
（2）若 a 3 = -2 ，a 6 = 54 ，求 a 9 .
（2）由上题结论，a 3，a 6，a 9成等比数列 .
例4、设某个等比数列前 4 项的和为 2，前 8 项的和为 8，求前 12 项的和 .
解：设此数列的首项为 a 1 ，公比为 q，
若 q = 1，则 4 a1 = 2，8 a1 = 8 ，此二式是矛盾的，故 q  1 .
解法二：因为
a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 ,
a5 + a6 + a7 + a8 = a1q 4 + a1q 5 + a1q 6 + a1q 7 ,
a9 + a10 + a11 + a12 = a1q 8 + a1q 9 + a1q 10 + a1q 11
把 S4 = 2，S8 = 8 代入上式，即可求得 S12 = 26 .
注：由本例解法二我们可以发现等比数列的又
一条性质：把等比数列从第一项起依次每相同数目
的项相加所得到的数列仍然是等比数列 .
例5 、 数列{an}中，S1=1,S2=2,Sn+1-3Sn+2Sn-1(n≥2)试判断数列是否为等比数列，并求Sn．
分析：(1)判断数列是否为等比数列的标准是
是否为常数，∴应从条件Sn去向an转化．
(2)Sn可通过什么与an联系?
注意n=1的讨论．
(3)错解：
∴数列为等比数列，且公比为2，且
对式(3)中n≥2你用了吗?
正解：

但
∴数列{an}从第2项才开始为等比数列．
为什么错了???
例6、已知等差数列{an}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第2n项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式和前项和公式Sn .
∴ an＝3n＋2
Sn=(3×2+2)+(3×22+2)+(3×23+2)+……+(3×2n+2)
{an},它的前n项之和为80,前2n项之和为65