注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两ABC 中， AB AC，AB 1 ， AC t ， P 是△ ABC 所在平面内一点，若 t uuur uuur uuur 4 AB AC ， △ PBC 面 的最小 ▲ ． AP uuur uuur |AB| |AC| 4x 2 x , x⋯0, 13．已知函数 f (x) 3 , x 0, 若函数 g( x) f (x) 3x b 有三个零点， 数 b 的 x 取 范 ▲ ． 14．已知 a,b 均 正数，且 ab a 2b a2 2 2 1 的最小 ▲ ． 0 ， a b b 4 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必 ．．．．．．． 要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 已知向量 m ( 3cos x, 1) , n (sin x,cos 2 x) ． （ 1）当 x π时，求 m n 的值； 3 （ 2）若 x 0, π ，且 m n 3 1 ，求 cos2x 的值． 4 3 2 16．（本小题满分 14 分） B 如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ， E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ， E ACD 90 ． （ 1）求证： AB⊥平面 EDC ； A G C （ 2）若 P 为 FG 上任一点，证明 EP∥平面 BCD ． P F D 17．（本小题满分 14 分） 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w （单位：百千克）与肥料费用 x（单位： 百元）满足如下关系： 3 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元．此外，还需 w 4 x 1 要投入其他成本（如施肥的人工费等） 2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 /千克（即 16 百元 /百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润 为 L (x) （单位：百元） ． 1）求利润函数 L x 的函数关系式，并写出定义域； 2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x) a ln x bx 3 ，a，b 数， b 0 ， e 自然 数的底数， e ⋯． （ 1）当 a 0 ， b 1 ， 函数 f (x) 的最小 g (a) ，求 g (a ) 的最大 ； （ 2）若关于 x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不同 数解，求 a 的取 范 ． b 19．（本小 分 16 分） 已知 C : x2 y2 1(a b 0) 的左焦点 F ( 1,0) ，左准 方程 x 2 ． 2 2 b 1）求 C 的 准方程； y （ 2）已知直 l 交 C 于 A ， B 两点． ①若直 lC 的左焦点 F ， P A uu
