线性代数中必考知识点归纳总结.doc

20XX年线性代数必考的知识点
1、行列式
如行列式共有疽个元素，展开后有〃!项，可分解为2"行列式；
代数余子式的性质：
、为和与的大小无关；
、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
、某行(列)的元素乘以该 + r(B)；(洪)
、r(AB) < min(r(A),r(B))；(洪)
、如果A是mx”矩阵，8是"xs矩阵，且4B = O,贝!I：(次)
I、 B的列向量全部是齐次方程组4X = 0解(转置运算后的结论)；
II、 r(A) + r(B) < n
、若A、B均为"阶方阵，则r(AB)>r(A) + r(B)-n；
三种特殊矩阵的方幕：
、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；
‘1 a c、
、型如0 1方的矩阵：利用二项展开式；
注：I、(a + ft)"展开后有"+1项;
M(n-1) (n-m + 1) _ n\
12 3 m m\{n — rri)\
IIL组合的性质：C：：=C「
C*=C：'+C：'T
二项展开式：(a+b)" =C°an+C\a'-'bl + +Cy-m.
、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：r(A*)= 1
r(A) = n
r(A) = n-1 ； r(A) <n-l
③、A*=|A|A-\ |A*| = |4~1
关于4矩阵秩的描述：
、r(A) = n , A中有"阶子式不为0,如+1阶子式全部为0;(两句话)
、r(A) < n , 4中有”阶子式全部为0;
、r（A） > n , A中有如阶子式不为0;
9,线性方程组：Ax = b ,其中A为mxn矩阵，贝上
、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有血个方程；
、〃与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b^Jn元方程;
10,线性方程组Ax = b的求解：
、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
、齐次解为对应齐次方程组的解；
、特解：自由变量赋初值后求得；
01 «12
a2\ tt22
《〃、
a2n
写'
x2
—
^am\ am2
^mn >
Pm >
11.
①、
+a„mXn =b„
由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程: +«］2x2 + +al„x„ =Z>, a2lxt +a22x2 + +a2nxn =b2 .
^Ax = b （向量方程，4为心"矩阵，m个方程，"个未知数）
*
' («1 «2 «„)
*2
=8 （全部按列分块，其中尸=
方2
、妃
）;
、fljXj +a2x2 + +a„xn = p （线性表出）
、有解的充要条件：r（4） = r（4W）M”（〃为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
勿个〃维列向量所组成的向量组4：名,％,，。，〃构成心血矩阵4 = （%,%, ,%）；
m个”维行向量所组成的向量组B ,，如构成/MX"矩阵B="；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
①、向量组的线性相关、无关=如=0有、无非零解；（齐次线性方程组）
、向量的线性表出 。如=方是否有解；（线性方程组）