基本不等式均值不等式技巧.docx

【基本知识】
2
2
1.（1）若a,b
R，则a2
b2
2ab
(2)
若a,b
R，则ab
a
2
b（当且仅当a
b
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的
形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个
系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。
评注：此题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可获得和为定值，进而可利用基本不
等式求最大值。
3
2
3、解：∵0x
∴32x
0∴y
4x(32x)22x(32x)22x3
2x
9
2
2
2
当且仅当2x
3
2x,即x
3
0,3
时等号成立。
4
2
解析：
y
1
(x
1)
(x
1)
1
x
1
x1
1
1(x1)
x
2
2(x
21(x1)
2
2
2(x
2
2(x
1)
1)
1)
33
x
1x1
1
1
3
1
5，当且仅当x1
2(x
1
(x1)即x
2时，“=”
2
2
2(x
1)2
2
2
2
1)2
5
号成立，故此函数最小值是。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，重点在于构造条件，使其
积为常数。平时要经过增添常数、拆项（经常是拆底次的式子）等方式进行构造。
5、解析,是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，而已知是与的和为定
值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值是.
6解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
≤a2＋b2
。
ab
2
同时还应化简
1＋y2中y2
前面的系数为
1
，
x1＋y
2＝x
2·
1＋y2
＝2
2
2
y2
x·
＋
2
2
下面将x，
1
y2
2
＋2
分别看作两个因式：
2
1y2
2
2
y2
1
x·
1
y2
x
＋(
2＋2)
x
＋2＋2
3
即x1＋y
2
＝2
·x
2＋2
≤
2
＝
2
＝4
1
y2
3
2
2＋2
≤4
7解析初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用+，可考虑将重
新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了
.
技巧二：分别或裂项
x2
7x10
的值域。

(x1)
x1
2求函数y=（1+x）的值域.
（x1+2x）
1解析一：此题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其
分别。
当,即时,
y
2（x
4
5
9（当且仅当x＝1
时取“＝”号）。
1)
x1
2、解：可将上式转变为
y
（
（x+1）
[
）
x1-1][1+2(x+1-1)]
=
（x+1）
=
1