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泰勒公式毕业论文
大连交通大学2012届本科生毕业论文
摘 要
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学式，称为在点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以在点的各阶导数表出的。
（二）Taylor公式余项类型
泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比（当
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时）高阶的无穷小。如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）。
泰勒多项式表示时所产生的误差
，
当时，它是比高阶的无穷小。其中称为n阶余项。
根据上面的假定，在点附近具有n+1阶导数（因已假定在点附近具有n+1阶导数，而多项式具有任何阶导数），并注意到等式()，则有
因此，当时，是型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得





即 。
这就证明了，当时，余项是比高阶的无穷小。因此所找到的多项式
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满足了我们最初提出的要求。我们记
，
这样一来，给定的函数就可以表示为

余项叫做皮亚诺（Peano）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余项给出一个阶的估计，它仅说明当时是比还要高阶的无穷小。因此只是说明了在时的极限性质。如果在点附近具体取定了一个值，那么余项到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。
下面介绍利用的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。
我们先对两个函数和在以和为断点的区间上应用柯西中值定理，得
（在与之间）
再对两个函数和在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得

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（在与之间）
如此继续进行n+1次后，便得
（在与之间）
而（因是n次多项式，所以），故由上式得
（在与之间）
这就是的导数表示的余项，称为拉格朗日型余项。
综合以上的讨论，我们得到了一下的重要定理。
（三）Taylor公式的定理
（泰勒定理） 如果函数在点的附近有直到n+1阶的导数，则对于点附近的，可表示为的n次多项式与余项的和
()
其中 （在与之间）
定理中的()式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。
当时，泰勒公式()式变为
，
这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。
在泰勒公式()式中，令，则得
()
其中 （在与之间）
公式()是在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林(Maclaurin)公式。
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二、Taylor公式的证明
（一）Taylor公式证明初探
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。
（二）证明Taylor公式
：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数在点存在直至阶导数，则有，
即。
证明：设
，，
现在只要证
由可知，
，
并易知
因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达（L'Hospital）法则次，得到
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。
：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数
，
所以要证明的（1）式即为
不妨设，则与在上连续，在内可导，且
又因，所以由柯西中值定理证得
其中

三、Taylo