《均值不等式公式总结及应用》.docx

均值不等式应用
2
2
1.(1)若a,b
2
b
2
2ab
(2)若a,b
R，则ab
a
b
（当且仅当a
b时取“=”）
R，则1.
当
时，求y
x(8
2x)的最大值。
解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题为两个式子积的形式，但
其和不是定值。注意到
2x
(8
2x)
8为定值，故只要将
yx(8
2x)凑上一个系数即可。
当
，即x＝2时取等号
当x＝2时，y
x(8
2x)的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可获得和为定值，进而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0
x
3
4x(3
2x)的最大值。
，求函数y
2
3
2
解：∵0
x
0∴y
4x(3
2x)
2
2x32x
9
∴32x
2x(32x)2
2
2
2
当且仅当2x
32x,即x
3
3
4
0,
时等号建立。
2
技巧三：
分别
2
7x10

x
x
(x1)的值域。
1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分别。
,即
时,y
2（x
4
59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当
1)
x
1
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令
t=x＋1，化简原式在分别求最值。
(t
2
）
2
4
4
1)7(t1+10t
5t
y
=
t
5
t
t
t
,即t=
时,y
2t
4
9（当t=2
即x＝1时取“＝”号）。
当
5
t
评注：分式函数求最值，往常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg(x)
A
B(A
0,B
0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
g(x)
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，联合函数
f(x)
a
的单一性。
x
x
2
5
例：求函数y
x
2
的值域。