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求最值问题的几种方法
浅谈求最值问题的几种方法
摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题,
求最值问题的几种方法

浅谈求最值问题的几种方法
摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求.
关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值
1. 常见函数的最值问题.
一次函数的最大值与最小值.
一次函数在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了.
例1. 设 且 ≠1,,(0≤≤1),求的最大值与最小值.
解: 可化为：下面对一次项系数分两种情况讨论：
（1）当＞1时，-＞0,于是函数的

一种求二次函数最值的方法——判别式法.
例3. 已知1, 2是方程 (是实数）的两个实数根，求的最大值与最小值.
分析：一般地,二次函数,若方程有实根,其判别式≥≥0,可以解出的取值范围，便可求出函数的最值，这就是求函数最值的判别式法.
解：由于二次方程有实根，所以
=≥0
解得 ≤≤
则

由于在上是减函数,可见当时，=有最大值18，当时，=有最小值.

三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点.

例 4. 已知函数,设，当为何值时，y取得最小值.
解： ,

即有
,
当时，取得最小值.
说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法：
（1）型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论.
（2） 型，先引进辅助角化成，再利用有界性.
（3） 型，配方后求二次函数的最值，须注意 的约束.