陕西省西安市长安区2022届高三数学4月模拟考试试题理.doc

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陕西省西安市长安区2022届高三数学4月模拟考试试题 理
总分：150分 时间：120分钟
第一卷
一、选择题：共12小题，每题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。
学生，近视的比拟多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系?
〔3〕在〔Ⅱ〕中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人，进一步调查他们良好的护眼名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望．


附：
20.(此题总分值12分)
过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线,为切点,直线分别与轴交于点.
(Ⅰ)求证:，并求的外接圆面积的最小值；
(Ⅱ)求证:直线恒过一定点。

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21．(此题总分值12分)
函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．
〔1〕确定与的关系；假设，并试讨论函数的单调性；
〔2〕设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．
请考生从第〔22〕、〔23〕两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，那么按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22. 〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
圆为参数和直线其中为参数，为直线的倾斜角.
〔1〕当时，求圆上的点到直线的距离的最小值；
〔2〕当直线与圆有公共点时，求的取值范围．
23. 〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
，，.
〔Ⅰ〕求的最小值；
〔Ⅱ〕假设的最小值为，求的最小值.
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高三级教学质量检测数学〔理科〕试题参考答案
一、选择题：
1------6：DCBBCB; 7------12：ACABDA
二、填空题
13. 15. 16. 或
三、解答题
17. 解：〔1〕， 由正弦定理，得,
又在中， ， ，
即， 又， ，
又，；
〔2〕 由余弦定理，， ，，，
，，即，
， .
18. 解：〔1〕证明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC‖EA，∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF〔也可由勾股定理证得〕．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF平面MBF，∴EM⊥BF．
〔2〕
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解法一：延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由〔1〕知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin=．
由．
∵与相似，,
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
解法二：如图：以A为坐标原点，AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,
由得,,
设平面的法向量为，
由得
令，由得平面ABC的一个法向量为
设平面与所成的锐角二面角为，
那么
所以，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.
19. 解：〔1〕由直方图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，
　　　因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24