高中数学函数单调性的判断方法.docx

高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢? 方法一:定义法对于函数 f(x) 的定义域 I内某个区间 A上的任意两个值 1 2 , x x (1)当 1 2 x x ?时,都有 1 2 ( ) ( ) f x f x ?,则说 f(x) 在这个区间上是增函数; (2)若当 1 2 x x ?时,都有 1 2 ( ) ( ) f x f x ?,则说 f(x) 在这个区间上是减函数。例如:根据函数单调性的定义,证明:函数在上是减函数。要证明函数 f( x )在定义域内是减函数,设任意 1 2 1 2 , x x R x x ? ?且,则 3 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) f x f x x x x x x x x x ? ??????, 1 2 x x ?因为 2 1 0 x x ? ?所以, 且在 1x 与 2x 中至少有一个不为 0 , 不妨设 20x?, 那么 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ( ) 2 4 x x x x x x x ? ???? 0?, 1 2 ( ) ( ) f x f x ?所以,故( ) f x 在( , ) ????上为减函数。方法二:性质法除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数 f(x) 、 g(x) 在区间 B上具有单调性,则在区间 B上有: 1. f(x) 与 c? f(x) 当 c> 0具有相同的单调性,当 c< 0具有相反的单调性; f(x) 、 g(x) 都是增(减)函数,则 f(x) + g(x) 都是增(减)函数; f(x) 、 g(x) 都是增(减)函数,则 f(x) ? g(x) 当两者都恒大于 0时也是增(减)函数, 当两者都恒小于 0时也是减(增)函数; 例如,已知 f( x)在 R上是减函数,那么-5f ( x)为____ 函数。这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题) 对于复合函数 y= f [g(x)] 满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域), 可令 t= g(x) ,则三个函数 y= f(t) 、t= g(x) 、y=f [g(x)] 中, 若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数; 若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数. 注:( 1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;(3)如果 f(x) 在区间 D上是增(减)函数,那么 f(x) 在D的任一子区间上也是增(减) 函数。例如,求函数 y=log 4 (x 2- 4x+3) 的单调区间。解: 设 y=log 4 u,u=x 2- 4x+3