高数知识点总结(上册).docx

高数知识点总结(上册) 函数: 绝对值得性质: (1)|a+b| ?|a|+|b| (2)|a-b| ?|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(|| ||?bb a 函数的表示方法: (1)表格法(2)图示法(3)公式法(解析法) 函数的几种性质: (1)函数的有界性(2)函数的单调性(3)函数的奇偶性(4)函数的周期性反函数: 定理: 如果函数)(xfy?在区间[a,b] 上是单调的,则它的反函数)( 1xfy ??存在,且是单值、单调的。基本初等函数: (1)幂函数(2)指数函数(3)对数函数(4)三角函数(5)反三角函数复合函数的应用极限与连续性: 数列的极限: 定义:设?? nx 是一个数列,a是一个定数。如果对于任意给定的正数?(不管它多么小), 总存在正整数 N,使得对于 n>N 的一切 nx ,不等式???ax n都成立,则称数 a是数列?? nx 的极限,或称数列?? nx 收敛于 a,记做 ax nn??? lim ,或 ax n?(?? n ) 收敛数列的有界性: 定理: 如果数列?? nx 收敛,则数列?? nx 一定有界推论:(1)无界一定发散( 2)收敛一定有界(3)有界命题不一定收敛函数的极限: 定义及几何定义函数极限的性质: (1) 同号性定理:如果 Axf xx??)( lim 0,而且 A>0( 或 A<0), 则必存在 0x 的某一邻域,当x在该邻域内(点 0x 可除外),有 0)(?xf (或 0)(?xf )。(2)如果 Axf xx??)( lim 0,且在 0x 的某一邻域内( 0xx?),恒有 0)(?xf (或 0)(?xf ), 则0?A (0?A )。(3)如果)( lim 0xf xx?存在,则极限值是唯一的(4)如果)( lim 0xf xx?存在,则在)(xf 在点 0x 的某一邻域内( 0xx?)是有界的。无穷小与无穷大: 注意: 无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数,因为如果 0)(?xf 则对任给的 0??,总有??)(xf ,即常数零满足无穷小的定义。除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系: (1)如果函数)(xf 为无穷大,则)( 1xf 为无穷小(2)如果函数)(xf 为无穷小,且 0)(?xf ,则)( 1xf 为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系: (1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和(2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质: 定理: (1)有限个无穷小的代数和也是无穷小(2)有界函数)(xf 与无穷小 a的乘积是无穷小推论: (1)常数与无穷小的乘积是无穷小(2)有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则: 定理: 两个函数)(xf 、)(gx 的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数)(xf 、)(gx 乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限: 准则一(夹挤定理) 设函数)(xf 、)(gx 、)(hx 在 0xx?的某个邻域内(点 0x 可除外)满足条件: (1))()()(xhxfxg??(2)Axg xx??)( lim 0,Axh xx??)( lim 0则Axf xx??)( lim 0 准则二单调有界数列必有极限定理: 如果单调数列有界,则它的极限必存在重要极限: (1)1 sin lim 0??x x x(2)2 1 cos 1 lim 20???x x x (3)ex xx????) 11( lim 或ex xx??? 10)1( lim 无穷小阶的定义: 设??、为同一过程的两个无穷小。(1)如果 0 lim ???,则称?是比?高阶的无穷小,记做)(??o?(2)如果???? lim ,则称?是比?低阶的无穷小(3)如果)1,0( lim ???ccc??,则称?与?是同阶无穷小(4)如果 1 lim ???,则称?与?是等阶无穷小,记做??~ 几种等价无穷小: 对数函数中常用的等价无穷小: 0? x 时,)0(~)1 ln(??xxx )0( ln 1~)1( log ??xxa x a 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小: 0? x 时, xx~ sinxx~ tan 22 1~ cos 1xx?xx~ arcsin xx~ arctan 指数函数中常用的等价无穷小: 0? x 时, xe x~1?aea axx ln~11 ln???二项式中常用的等价无穷小: 0? x 时, ax x a~1)1(??n xx n~11??函数在某一点处连续的条件: 由连续定义)()( lim 0 0xfxf xx??可知,函数)(xf