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函数单调性的判定方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单 调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。 一般地，设f为定义在D上的函数。假如对任何
Xi、X2 D ,当xi X2时)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都恒大于 0时，f (x) g(x)在D上
是增〔减〕函数；当f(x)、g(x)在D上都是增〔减〕函数且两者都包小于0时，f(x) g(x) 在D上是减〔增〕函数。
⑹.设y f(x), x D为严格增〔减〕函数，如此 f必有反函数f 1 ,且f 1在其定 义
域f(D)上也是严格增〔减〕函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下
几个例子：
f (x) x x3 log2x3 2x 1(x2 1) 5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域
x,x3,log2x3均为增函数，因为2x1 0,x2 1 0由性质⑸可得2x 1(x2 1)也是增函
数；由单调函数的性质⑷知x x3 log2x为增函数，再由性质⑴知函数 f (x) x x3 log2x3 2x1(x2 1)+5在(0,)为单调递增函数。
f(x) 3g b 0),判断f(x)在其定义域上的单调性。 x b
解:函数f(x)人工的定义域为(，b) ( b,).
x b
先判断“刈在(b,)的单调性，由题可把f(x) "a转化为f(x) 1 b ,又
x bx b
a b 0故a b 0由性质⑶可得,为减函数；由性质⑵可得 U 为减函数；再 x bx b
由性质⑴可得f (x) 1二^在(b,)是减函数。
x b
x a
同理可判断 “乂)在(，b)也是减函数。故函数f(x) 在(，b) ( b,)是
x b
减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先
把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四如此混合运算的形式，然后利用函数单
调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四如此混合运算形式就不能采 用这种方法。
图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。 根据单调函数的图像特征，假如函数
f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升如此函数 f(x)在区间I上是增函数；假如
函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降如此函数f(x)在区间I上是减函数。、
-1是定义在闭区间卜5,5］上的函数y f(x)的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数y f(x)的单调区间有［-5,-2］，［-2,1〕，［ 1,3〕，［3,5］.其
中函数y f(x)在区间［-5,-2］，［1,3］上的图像是从左往右逐渐下降的，如此函数
y f(x)在区间［-5,-2］，［1,3］为减函数；函数y f (x)在区间［-2,1〕，［3,5］上的图像
是从往右逐渐上升的，如此函数 yf(x)在区间［-2,1〕，［3,5］上是增函数。
(x) x 1； g(x) 2x; h(x) 2x x 1在［-3,3］
上的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x) f(x) g(x),作图一般步骤为列表、描点、作
图。首先作出f (x) x 1和g(x) 2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致
作出h(x) 2x x 1的图像，最后利用图像判断函数 h(x) 2x x 1的单调性。
解：作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数f (x) x 1在闭区间［-3,3］
上是单调增函数；g(x) 2x在闭区间［-3,3］上是单调增函数；利用物理上波的叠加
可以直接大致作出h(x) 2x x 1在闭区间［-3,3］上图像，即 h(x)2x x 1在闭
区间［-3,3］上是单调增函数。事实上此题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断
其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比拟直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量 的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用
图像法比拟简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的
函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像
法判断函数单调性是非常简单方便的。
复合函数单调性判断法
定理1：假如函数y f(u)在U单调，u g(x)在X单调，且集合{u | u g(x),
x X} U
〔1〕假如y f(u)是增函数,u g(x)是增〔减〕函数，如止匕y f［g(x)］是增〔减〕
函数。〔2〕假如y f(u)是减函数，u g(x)是增〔减〕函数，如