单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真.doc

单级倒立摆系统 LQR 控制器设计与仿真 1. 倒立摆系统原理简介与建模图1一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分,组成了一个闭环系统。光电码盘 1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡,摆杆的角度、角速度信号由光电码盘 2 反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据,确定控制决策,并由运动控制卡来实现该控制决策,产生相应的控制量,驱动电机转动, 带动连杆运动,保持摆杆的平衡。在忽略了空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图 2所示。图2直线一级倒立摆系统其中: M小车质量 m摆杆质量 b小车摩擦系数 l摆杆转动轴心到杆质心的长度 I摆杆惯量 F加在小车上的力 x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中, N和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意:在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。图3(a)小车隔离受力图; (b)摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程: Mx F bx N ? ???? ?(1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: ?? 22 sin d N m x l dt ?? ?(2) 即: 2 cos sin N mx ml ml ? ???? ? ??? ???为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析, 可以得到下面方程: ?? 22 cos d P mg m l dt ?? ?(3) 即: 2 sin cos P mg ml ml ? ???? ?? ??? ?力矩平衡方程如下: sin cos Pl Nl I ? ??? ????(4) 注意:此方程中力矩的方向,由于? ??? ?, cos cos ? ???, sin sin ? ???故等式前面有负号。合并这两个方程,约去 P和 N,得到第二个运动方程: ?? 2 sin cos I ml mgl mlx ? ??? ??????(5) 设? ??? ?(?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),假设?与1(单位为弧度)相比很小,即 1???,则可以进行近似处理: cos 1 ???, sin ? ???, 20 ddt ?? ??? ?? ?,用来 u代表被控对象的输入力 F,线性化后两个运动方程如下: ???? 2 I ml mgl mlx M m x bx ml u ? ???? ????? ????????????? ?(6) 系统状态空间方程为 X AX Bu y CX Du ?? ??? ???(7) 即:?????????????????? 22 2 2 2 2 22 2