压缩感知稀疏分解 1、压缩感知压缩感知是一种新的信息获取理论,是建立在信号稀疏表示、测量矩阵的非相关性以及逼近理论上的一种信号采集和重建的方法。该理论 2004 年由 Donoh o 等人提出, 2006 年发表正式论文。与基于奈奎斯特定理的传统采样方式不同, 该理论指出,只要信号是稀疏的或者在某个基下是可压缩的,就可以通过远低于奈奎斯特采样定理要求的采样率获取信号的结构信息,再通过重构算法完成信号的精确重构。压缩感知理论主要包括两个部分:将信号在测量矩阵上投影得到观测值以及利用重构算法由观测值重构信号。设 x是一个长度为 N的信号, x在变换域Ψ内 K稀疏,即: x ???(1) 式中Ψ为稀疏变换基。通过与稀疏变换基Ψ不相关的测量矩阵Φ将高维信号 x投影到低维空间 y上,即: y x A ? ????? ??(2) 式中 y为观测向量, Φ为测量矩阵, A= ΦΨ为传感矩阵。重构的关键是找出信号 x在Ψ域中的稀疏表示,可以通过 l 0范数优化问题找到具有稀疏结构的解: 0 min . . T x s t y x ? ??(3) 由于式( 3 )的优化问题是一个难求解的 NP-hard 问题,所以可以用 l 1约束取代 l 0约束: 1 min . . T x s t y x ? ??(4) 2、稀疏的概念对于长度为 N 的向量(实际上是指一个 N 维离散离值信号)来说,它的 N 个元素值只有 K个是非零的,其中 K << N,这时我们称这个向量是 K稀疏的或者说是严格 K 稀疏的;实际中要做到严格 K 稀疏不容易,一般来说,只要除了这 K个值其它的值很小,我们就认为向量是稀疏的。 3、稀疏分解用不同的稀疏基对测试信号进行稀疏分解,设定阈值,小于阈值的系数视为 0,比较信号在各稀疏基下的稀疏度。常见稀疏基有离散傅里叶基( FFT )、离散余弦变换基( DCT )、离散正弦变换基( DST )、离散哈特莱变换( DHT )、离散 W变换。(1)仿真 1测试信号(信号长度 N =1841 ): 表1 不同稀疏基下测试信号稀疏度 FFT DCT DST DHT W c= 1313 1468 1657 1473 1477 c= 311 490 1107 494 487 c= 220 945 218 221 (2)仿真 2测试信号(信号长度 N=300 ): 表2 不同稀疏基下测试信号稀疏度 FFT DCT DST DHT W c= 230 247 275 250 249 c= 5177200 103 98 c= 4645 (3)仿真 3测试信号(信号长度 N=300 ): 表3 不同稀疏基下测试信号稀疏度 FFT DCT DST DHT W c= 298 223 289 279 296 c= 188 31247 197 241 c= 1112207 120 114 (4)仿真 4测试信号(信号长度 N=300 ): 表3 不同稀疏基下测试信号稀疏度 FFT DCT DST DHT W c= 189 221 263 230 227 c= 1531184 7073 c= 1918 4、离散余弦变换迭代次数与重构成功概率关系( 1)仿真 1信号长度 400 ,迭代次数 20至 100 ,间隔为 5。先对测试信号进行平滑处理, 再用离散余弦变换进行稀疏分解。测量矩阵为高斯随机矩阵,重构算法为 OMP , 测量值需满足 log( / ) M cK N K ?才能进行精确的重构。阈值 threshold= , K=122 , M=145 ; threshold= , K= 63, M= 117 ; threshold= , K= 60, M= 114 。测试信号: 测量值 M =1 60: 测量值 M =150 : 测量值 M =1 40: 测量值 M =1 30: 测量值 M =1 20: 测量值 M =1 10: (2)仿真 2信号长度 400 ,先对测试信号进行平滑处理,再用离散余弦变换进行稀疏分解。测量矩阵为高斯随机矩阵,重构算法为 OMP ,测量值需满足 log( / ) M cK N K ?才能进行精确的重构。阈值 threshold= , K= 99, M= 139 ; threshold= , K= 14, M= 47; threshold= , K= 11, M= 40。测试信号:
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