南京邮电学院《信号与系统》信号2-1.ppt

第二章连续时间系统时域分析法线性连续时间系统常系数线性微分方程解齐次微分方程得零输入响应解非齐次微分方程得零状态响应,它与激励信号有关讨论任意波形激励下的零状态响应回顾求解电路的全响应 2-1 冲激函数及其性质 2-1-1 冲激函数工程定义出现时间极短和面积为 1 广义函数单位冲激函数)(t?作用于)(t?结果????????????? 00 00)0()()0()()()()(??????? dtt dttt dttt 0)(0??tt?时, 由于只要在时连续)(t? 0?t单位冲激函数的筛选性质或抽样性质不是普通函数,作为广义函数的定义是: )(t?)(t?作用于任何在时刻连续的函数所产生的效果是对赋予下面的值即 0?t )(t?)(t??????)0()()(???dttt 2-1-2 冲激函数的性质)()()( 0 0??????t dtttt???证明: ????? dtttt)()( 0??令 xtt?? 0)()()( 0 0t dttxx?????????如果是一个在时连续的普通函数,有)(tf 0tt?)()()()( 000tttftttf?????证明: )()( )]()( )[()( )]()([ 00 0 0ttf dtttftt dtttttf?????????????????)()( )]()( )[()( )]()([ 00 00 00ttf dtttftt dtttttf?????????????????两个广义函数对测试函数有相同的赋值效果,故它们二者相等。)(t?特别地当有 0 0?t)()0()()(tfttf???如 0 sin sin )( 0??????? tt tdt t??? 1加权特性 2 2 4 1 4 1???????? tt tdt t??? sin sin )(0 0???)( sin )( sintttt t????)()( sin )( sin4 12 24 1 4 1 4 1??????ttttt t?????2 单位阶跃函数的导数是单位冲激函数)(t?)(t?)( )]()([)()(')( )(')()()()( )(00 0????????????????????????????????????dtt dtttttdttdt td证明:由于在时不连续,因此, 必须作为广义函数来证明,因为)(t?0?tdt td)(?)0()()(????????dttt而????? ttdtdt td)()()()( )(??????和故此结论解决了不连续函数在间断点处的求导问题)]2()([)(???ttttf??如: )2(2 )]2()([ )]2()([ )]2()([)('???????????ttt ttttttf???????波形如下图 3 单位冲激函数为偶函数,即)(t?)()(tt????)0()()( )()()()()( ?????????????????????????????????d d dttt证明: )0()()(????????dttt而)()()()()(tt tt??????????故时连续, 在由于 000 )(tf0t (2) 10t2 2 )('tf2 0, )( 1)()( 1)(4 0 0 0?????ata a tta tatta at为常数且和????)0( 1)()( 1)()( 0,?????a dx a xxa dttat axat????????????时当证明:令)0( 1)0( 1)()( 1 )()()()()(0????????aa dxxa xa a xda xxdttat a???????????????????时当)0( 1)()( 1???a dttta ?????而)( 1)(ta at???故)( 1) 0 0a tta tat?????( 同理可证 5 的导数及其性质)(t?单位冲激函数的一阶导数称为单位二次冲激函数或冲激偶,图形符号如下)('t?0t )('t?可以证明: ?????????????)(')()(' )0(')()(' 0 0t dtttt dttt??????)()(')(')()(')( )()0(')(')0()(')( 00000tttftttftttf tftfttf ?????????????