天一专升本高数知识点.docx

第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。
偶函数： f (类间断点” ，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
（ 1）
最值定理：如果
f ( x) 在 a,b 上连续，则
f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。
（ 2）
零点定理：如果
f (x) 在 a,b 上连续，且
f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b
内至少存在一点
，使得 f ( ) 0
第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数

y

f (x) 满足：（ 1）在闭区间

a, b

上连续；（ 2）在开区间（

a,b）内可导；（3）

f (a)

f (b) ，
则在 (a,b)内至少存在一点

，使得 f ( )

0
记忆方法：脑海里记着一幅图：
2、 拉格朗日定理
如果 y
f ( x) 满足（ 1）在闭区间 a,b 上连续
（ 2）在开区间（ a,b）内可导；
b
f (b)
则在 (a,b)内至少存在一点
f (a)
，使得 f ( )
a
b
脑海里记着一幅图：
（ * ）推论 1 ：如果函数 y f (x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间（ a,b）内可导，且 f (x) 0 ，那么
在 (a, b) 内 f ( x) =C 恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为

0。
（*）推论

2：如果

f (x), g( x) 在

a, b

上连续，在开区间

(a,b) 内可导，且

f ( x)

g ( x), x

(a,b) ，
那么 f ( x) g( x) c
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
满足 f ( x) 0 的点，称为函数 f (x) 的驻点。
几何意义：切线斜率为 0 的点，过此点切线为水平线
4、极值的概念
设 f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 x,有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数
f (x) 的极大值， x0 称为极大值点。
设 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 x,有 f ( x) f (x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数
f (x) 的极小值， x0 称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波