函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.pdf

函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）
1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数b  y ) 与 (x , y ) 关于 (a,b) 对称
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得证。
说 明 : 关 于 点 (a,b) 对 称 要 求 横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如
(a  x)与（a  x) 之和为 2a 。
（3）函数 y  f (x)关于点 y  b 对称:假设函数关于 y  b 对称，即关于任一个 x
值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于
y  b 对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于 y  b 对称，比如圆
c(x, y)  x2  y2 4  0它会关于y=0对称。
（4）复合函数的奇偶性的性质定理：
性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a 轴对称。
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
总结：x 的系数一个为 1，一个为-1，相加除以 2，可得对称轴方程
总结：x 的系数一个为 1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为 1，
另一个为-1，存在对称中心。
总结：x 的系数同为为 1，具有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性
1、 y  f (x) 与 y   f (x) 关于 X 轴对称。
证明：设 y  f (x) 上任一点为 (x ,y ) 则 y  f(x ) ，所以 y f(x) 经过点
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(x ,y )
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∵(x ,y )与(x ,y )关于X轴对称，∴ y  f(x )与y f(x)关于X轴对称.
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注：换种说法： y  f (x)与 y  g(x)   f (x) 若满足 f (x)  g(x) ，即它们关于
2y