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求函数极限的方法
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求函数极限的方法
预备知识
函数极限的定义
定义1 设为定义在上的函数，为定数．若对任给的，存在正整数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限．记作：或．
定义2 设函数
求函数极限的方法
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求函数极限的方法
预备知识
函数极限的定义
定义1 设为定义在上的函数，为定数．若对任给的，存在正整数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限．记作：或．
定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限．记作：或．
定义3 设函数在（或）内有定义，为定数．若对任给的，存在正数，使得当时（或）有，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限．记作：
或．
函数极限的性质
性质1（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的．
性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界．
性质3（局部保号性） 若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）．
性质4（保不等式性） 设与都存在，且在某邻域内有，则．
3
性质5（迫敛性）设，且在某邻域内有
4
利用函数的连续性求极限
例2 求．
解 ．
此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数在处连续，所以可把直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．
利用两个重要极限求极限
首先给出两个重要极限的一般形式
（1）； （2）．
　　例3　求极限．
　　解 ，
于是有
　　　
　　　．
先利用和差化积对函数进行转化，要使用，必须使函数中出现此类型的式子，如当时，此时，再进行求解．
例 4　求极限（为给定实数）．
5
解　．
在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．
利用四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．
例 5 求极限，为正整数．
解



．
本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．
利用迫敛性求极限
例 6 求极限．
解 由放缩法得
6
，
化简得
，
因为
，
由迫敛性定理得
．
在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得
，
且，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．
利用归结原则求极限
归结原则 设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等．
例 7 求极限．
分析 利用复合函数求极限，令，求解．
解 令，则有
；，
由幂指函数求极限公式得
7
，
故由归结原则得
．
注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．
注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在．
利用等价无穷小量代换求极限
例 8 求极限．
解 由于，而
，，
故有
．
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有，，而推出
，
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
8
，，，
，，，
，．
利用洛比达法则求极限
洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在点的空心领域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．
例 9 求极限．
解 由于，且有
，，
由洛比达法则可得


．
例 10 求极限．
解 由于，并有
，，
由洛比达法则可得
，
由于函数，均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则
9