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关于函数极限
第一张，共三十六张，创建于2022年，星期二
函数极限的概念
设 在点a 的某个空心邻域内有定义,
记作
或
A 为常数.
第二张，共三十六张，创建
于是 为无穷小,
与 矛盾.
则 都是无穷小.
函数极限的性质
第十二张，共三十六张，创建于2022年，星期二
由已知可设
(局部有界性)
若 存在, 则 在 x0的某个空心邻域
证
因为 在点 x0 某空心邻域内有界,
所以, 在该空心邻域内有界.
内有界.
第十三张，共三十六张，创建于2022年，星期二
(局部保号性)
证
与 A 同号.
不妨设
1. 设 且
因
所以 为无穷小.
即
于是
第十四张，共三十六张，创建于2022年，星期二
函数极限的运算法则
(极限四则运算法则)
则有
证 (1)
则
设
第十五张，共三十六张，创建于2022年，星期二
推论1 如果
即: 常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果
所以 (1) 成立.
于是
第十六张，共三十六张，创建于2022年，星期二
(局部保序性)
, 立即有下面的推论
则在 x0的某个空心邻域内有
2. 若在 x0的某个空心邻域内有
则
则
第十七张，共三十六张，创建于2022年，星期二
有
利用极限的运算法则和上节的两个结果
我们可以求解一些简单的极限问题：
对于的多项式函数
第十八张，共三十六张，创建于2022年，星期二
例1 求
解
由函数商的极限法则, 有
第十九张，共三十六张，创建于2022年，星期二
一般地, 设
则商的法则不能使用.
则当
第二十张，共三十六张，创建于2022年，星期二
解
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系, 得
例2 求
第二十一张，共三十六张，创建于2022年，星期二
解
消去零因子法
时, 分子、分母的极限都是零.
例3 求
第二十二张，共三十六张，创建于2022年，星期二
解
时, 分子、分母的极限都是无穷大,
例4 求
分子、分母同时除以 x 的最高次幂.
第二十三张，共三十六张，创建于2022年，星期二
一般地, 当
第二十四张，共三十六张，创建于2022年，星期二
解
先作恒等变形, 使和式的项数固定, 再求极限.
和式的项数随着n在变化,
原式
不能用运算法则.
方法:
例5 求
第二十五张，共三十六张，创建于2022年，星期二
(复合函数的极限运算法则)
设
且存在
推论 若
例
则
则复合函数
时的极限也存在,
且
第二十六张，共三十六张，创建于2022年，星期二
证
例6 证明: 如果 则
由 及复合函数的极限法则, 有
有
特别地, 如果 为多项式函数, 且
第二十七张，共三十六张，创建于2022年，星期二
解
原式
例7 求
第二十八张，共三十六张，创建于2022年，星期二
由于数列可以看作特殊的函数, 因此复合函数
的极限法则对数列同样适用.
抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序,
在数列 中任意
得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列).
设在 数列中, 第一次抽取
第二次在
后抽取
抽取下去得到子数列
第三次在 后抽取
注意: 严格单调递增，显然有
无休止地
第二十九张，共三十六张，创建于2022年，星期二
如果数列 收敛于A,
则它的任意子数列
(收敛数列与其子数列间的关系)
也收敛于A.
证
设 是 的任一子列.
令
显然有

第三十张，共三十六张，创建于2022年，星期二
如果
(函数极限与数列极限之间的关系)
则对任意满足
用此结论同样可以证明函数极限不存在.
且 的数列 有
例如, 由
有 不存在.
第三十一张，共三十