函数的单调性复习.ppt

关于函数的单调性复习
第一张，共四十九张，创建于2022年，星期二
定义
当x1<x2时,都有
，那
么就说函数f(x)在区
间D上是增函数
当x1<x2时，都有

∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.
即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
第十一张，共四十九张，创建于2022年，星期二
故 在（-1，+∞）上为减函数.
（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，
证明如下：
任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
则f(x1)-f(x2)=
=(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2).
∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,
∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即有f(x1)>f(x2).
第十二张，共四十九张，创建于2022年，星期二
故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是减函数.
（3）函数f(x)= 在［-1，+∞）上为增函数，
证明如下：
任取x1、x2∈［-1,+∞）且-1≤x1<x2，
则有x1-x2<0，
第十三张，共四十九张，创建于2022年，星期二
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)= 在［-1,+∞）上为增函数.
对于给出具体解析式的函数，判断或
证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义
（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）
求解.
探究提高
第十四张，共四十九张，创建于2022年，星期二
知能迁移1 已知函数
证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
（1）用函数单调性的定义.
（2）用导数法.
证明 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0,
思维启迪
第十五张，共四十九张，创建于2022年，星期二
又∵x1+1>0,x2+1>0,
于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
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题型二 复合函数的单调性
【例2】 已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函
数的区间是( )
A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.（-3,-1）
先求得函数的定义域，然后再结合二
次函数、对数函数的单调性进行考虑.
解析 由x2-2x-3>0，得x<-1或x>3,结合二次函数
的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3
是减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数，
由此可得D项符合.
思维启迪
D
第十七张，共四十九张，创建于2022年，星期二
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函
数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.
（2）讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
探究提高
第十八张，共四十九张，创建于2022年，星期二
知能迁移2 函数y= 的递减区间为
（ ）
A.(1,+∞) B.
C. D.
解析 作出t=2x2-3x+1的示意
图如图所示，
∵0< <1,∴ 递减.
要使 递减,t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).
A
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题型三 抽象函数的单调性与最值
【例3】 已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f（x）
+f（y）=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在［-3，3］上的最大值