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重积分的计算方法
重积分包括二重积分与三重积分，它就是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为 二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分范围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)与空间域 (三重积分)。我个人在学习与复习 ,其中D由直线x = 0,y = 0与 x + y= 1所围成。" 解：区域D如图所示.
}
2*
sin 0
@ sin 0+cos 0
sin 0
)2(/8= — (f sin °+co$ 0
sin 0 4- cos 0 2
T _ e-1
o 一
2
计算二重积分时，要从被积函数与积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系,如能采 用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或 者环形可以选用极坐标。
(4)对称法
对 I = f(x,y)dxdy
D
①若D关于X轴对称
⑴= -/(x,I=0
(2)当f(*,—y)=/(x,y)时 1 = 2jJ f(^y)dxdy
若d关于y轴对称
净(-x,y) = -/(x,_y)时 1 = 0
4(-3)= /(勺)时 1 = 2j]7(3 位四
Di = {(x,y)(x,y)c D,x > 0)"
若D关于原点对称
⑴曹(-*，-y) = -f(x, y)时 1=0
(2)^f(-x,-y) = /(3)时 1= 2jj f(x,y)dxdy
D3 ={(x,y)e £>,x>O,j >0)
④若D关于直线y =x对称
\\f(x,y)dxdy= ^f(y,x)dxdy
D D
——称为关于积分变量的轮换对称性
是多元积分所独有的性质
①、②、③简单地说就是
奇函数关于对称域的积分等于0,偶函数关
于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两
倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的
性质
简述为“你对称，我奇偶”
第四种对称法为轮换对称,它在应用中十分重要，下面详细介绍：
首先所谓轮换对称性就就是，如果把f(x,y)中的x换成y,y换成x后,f(x,y)的形式没有变化，就 说f(x,y)具有轮换对称性。例如xA2+yA2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性(因为换完 后就是2y+3x,与原来的不一样)。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积 分的积分区域的边界可以用方S f(x,y)=O表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函 :中的x与y互换后积分结果不变。例如JJx^dxdy,积分区域为圆周xA2+yA2=l,由于轮换对 称性可知J]xA2dxdy=J]yA2dxdy(这就就是把被积函数中的x换成了 y),因此积分 =(l/2)Jj2xA2dxdy=( l/2)n(xA2+yA2)dxdy,再用极坐标计算就简单多了。
下面举几个例子：
例7 谢X*)祖—sE上谶 试将二重积分
I=^f(yjx2+y2)do £>:|j|<|x|<1 D
化成定积分
解由积分域和被积函数的对称性有
I = 4jj f(yix2 + y2 )d(y I>,: 0 < x < 1,0 < j < x
用极坐标
4
0<<9< 4,0<r<sec<9
% se诺
=>7 = Jd。J/Xr)汕
为将二次