高等数学高数ppt课件-3.1-微分中值定理.ppt

第三章
中值定理与导数的应用
一、中值定理
二、洛必达法则
三、泰勒公式
四、函数的单调性与凹凸性
五、函数的极值与函数图形的描绘
六、弧微分与曲率
二、罗尔(Rolle)定理
三、拉格朗日(Lagrange)内.
例
4
证
证明方程
有且仅有一个小于
1的正实根.
设
则
在
上
连续,
且
由零点定理,
存在
使
即为方程的小于1的正实根.
设另有
使
因为
在
之间满足罗尔定理的条件,
例
4
证
证明方程
有且仅有一个小于
1的正实根.
因为
在
之间满足罗尔定理的条件,
所以至少存在一点
(在
之间),
使得
但
导致矛盾,
故
为唯一实根.
例
4
证
证明方程
有且仅有一个小于
1的正实根.
因为
在
之间满足罗尔定理的条件,
例
5
证
设
为
的实数,
试证明方程
在
内至少存在一个实根.
作辅助函数
满足
证
作辅助函数
证
作辅助函数
显然
在
内可导,
故由罗尔定理知,
存在一点
使
续,
在
上连
至少
即
从而题设方程在
内至少有一个实根.
例
6
设
在
上连续,
在
内可导,
且
证明:
存在
使
成立.
证
从结论倒推分析知,
可引进辅助函数
由于
罗尔定理条件,
易知
在
上满足
且
因此,
在
内至少存在一点
使
例
6
设
在
上连续,
在
内可导,
且
证明:
存在
使
成立.
证
因此,
在
内至少存在一点
使
例
6
设
在
上连续,
在
内可导,
且
证明:
存在
使
成立.
证
因此,
在
内至少存在一点
使
即
因
所以
例
7
证
设函数
在
上连续,
导,
在
内可
且
若存在常数
使得
试证至少存在一点
使得
因
故
和
同号,
不妨设
又因为
所以
在
和
上
连续,
证
不妨设
在
和
上
连续,
证
在
和
上
连续,
设
由于
和
异号,
和
异号,
所以,
至少存在一点
使
至少存在一点
使
在区间
上,
显然满足
罗尔定理的三个条件,
即
在
上连续,
在
内可导,
所以至少存
在一点
使
再证例1
练习 1
分析
练习 2
证明
例8
分析
思路归纳：
在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常需要构造辅助函数F(x)。
如何构造？是否有一般的思路和方法？
分析下面的例子：
如何构造辅助函数F(x)，来证明如下的问题
问题
再看一个几何事实:
如右图所示
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数
在闭区
间
上连续,
内至少有一点
使得
分析：
条件中与罗尔定理相差
几何图中,
弦
方程为
曲线
减去弦
所得曲线在
两端点上的
函数值相等.
在开区间
内可导,
则在
拉格朗日(Lagrange)中值定理
于是,
若作辅助函数
则
满足罗尔定理的条件,
故在
内至少
存在一点
使
即
拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数
在闭区
间
上连续,
内至少有一点
使得
在开区间
内可导,
则在
拉格朗日(Lagrange)中值定理
则
满足罗尔定理的条件,
故在
内至少
存在一点
使
即
拉格朗日(Lagrange)中值定理
则
满足罗尔定理的条件,
故在
内至少
存在一点
使
即
或
由此可证得定理.
拉格朗日中值公式
注:
拉格朗日公式
的增量
精确地表达了函数在一个区间上
与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日(Lagrange)中值定理
或
由此可证得定理.
拉格朗日中值公式
拉格朗日(Lagrange)中值定理
或
由此可证得定理.
拉格朗日中值公式
设
在
内可导,
则有
即
增量
的精确表达式
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
拉格朗日(Lagrange)中值定理
即
增量
的精确表达式
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
当x<0时，= - (x0-)/x
当x>0时，= ( -x0)/x
拉格朗日(Lagrange)中值定理
即
增量
的精确表达式
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
推论1
如果函数
在区间