1.2排列与组合.doc

选修2-3 排列与组合
排列
教学目的：理解排列、排列数的概念及
例2 （1）若，则n= ，m= ．
（2）若则用排列数符号表示为 ．
解：（1）n=17，m=14 ．
（2）若则＝ ．
例3 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是
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=14×13=182.
例4 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：，所以，共有60种不同的送法
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：，所以，共有125种不同的送法
说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算。
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例5 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有个，个位数字是0的三位数有个，十位数字是0的三位数有个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：
．
解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此符合条件的三位数的个数是-．
说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏。
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例6 ⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
⑹甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
⑺甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
⑻甲、乙、丙按指定顺序排列。
解：⑴问题可以看作：7个元素的全排列＝5040．
⑵根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
⑶问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．
⑷根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法
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⑸解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法
解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有