线性事变系统.ppt

线性时变连续系统状态方程的解(1/ 2) 线性时变连续系统状态方程的解?严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。?如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化; ?火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。?但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。?但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。线性时变连续系统状态方程的解( 2/2) ?下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论: ?线性时变连续系统齐次状态方程的解?线性时变连续系统的状态转移矩阵?非齐次状态方程的解线性时变连续系统齐次状态方程的解(1 /3) 线性时变齐次状态方程的解?当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程,可表示为 x’(t )=A(t ) x(t) ?这里讨论其满足初始状态 00 ( ) ( ) t t t t ?? x x 的解,也就是由初始时刻 t 0的初始状态 x(t 0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。?为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性, 假设在系统的时间定义域[t 0,t f]内, A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。线性时变连续系统齐次状态方程的解(2 /3) ?下面证明时变系统齐次状态方程的解为 x(t )=?(t,t 0 ) x(t 0) 式中,?(t,t 0) 为时变系统的状态转移矩阵, 它定义为如下矩阵微分方程的解。????????Itt tttAtt),( ),()(),( 00 0 0?满足如下的矩阵微分方程和初始条件?’(t)=A?(t),?(t)| t =0 =I 线性时变连续系统齐次状态方程的解( 3/3) ?证明对解表达式 x(t )=?(t,t 0)x(t 0)求导,则有且x(t 0 )=?(t 0,t 0)x(t 0 )=x(t 0) 说明式 x(t )=?(t,t 0)x(t 0)满足齐次状态方程及其初始条件。?根据微分方程解的唯一性,所以它是齐次状态方程的解。?时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代表了初始状态 x(t 0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ(t,t 0)决定。????????Itt tttAtt),( ),()(),( 00 00?)()()(),()()(),()( 00 00ttAttttAttttxxxx???????x(t )= ?(t,t 0 ) x(t 0) x(t )=?(t)x 0=?(t-t 0)x(t 0) 对比线性定常系统非齐次状态方程的解(1 /8) 非齐次状态方程的解?当具有外加输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:x’(t ) = A(t ) x(t ) + B(t ) u(t) 该状态方程在初始状态为 00 ( ) ( ) t t t t ?? x x 下的解,?也就是由初始状态 x(t 0)和输入作用 u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。非齐次状态方程的解( 2/8) ?下面将证明当输入 u(t)为分段连续时,该非齐次状态方程的解为: ?证明先设该非齐次状态方程的解为显然,有式中,η(t)为待定函数。????? ttBttttt 0d)()(),()(),()( 00????u xx)(),()( 0ttttηx??)()( 00ttηx?非齐次状态方程的解( 3/8) ?将所设的解代入该状态方程的左边,有?将所设的解代入该非齐次状态方程的右边,有?因此有即 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) A t t B t t A t t t t B t t ? ??? x u ηu 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) t t t B t t ? ?ηu ? 0 0 0 0 0 ( ) [ ( , ) ( )] ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t t t t t t t t t t A t t t t t t t ????? ??? ? ?? xηηηηη? ????)()(),()()(),()( 0 0 1ttBttttBtttuu η??????非齐次状态方程的解( 4/8) ?对上