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学魅力! 演绎网站传奇! 学数学用数学专页报版权所有@ 少智报· 数学专页如何证明圆的切线证明直线是圆的切线,通常有的两种方法: 一、要证明某直线是圆的切线, 如果已知直线过圆上的某一个点, 那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径. 【例 1】如图 1, 已知 AB 为⊙O 的直径,点D在 AB 的延长线上, BD = OB ,点C 在圆上, ∠ CAB = 30o .求证: DC 是⊙O 的切线. 思路:要想证明 DC 是⊙O 的切线,只要我们连接 OC ,证明∠ OCD = 90o 即可. 证明:连接 OC , BC . ∵ AB 为⊙O 的直径, ∴∠ ACB = 90o. ∵∠ CAB = 30o,∴ BC =2 1 AB = OB . ∵ BD = OB ,∴ BC =2 1 OD . ∴∠ OCD = 90o. ∴ DC 是⊙O 的切线. 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论, 特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,∠ OCD = 90o 时,运用了“在一个三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形”,当然也可以从角度计算的角度来求∠ OCD = 90o. 二、如果直线与圆的公共点没有确定, 则应过圆心作直线的垂线, 证明圆心到这条直线的距离等于半径. 【例 2】如图 2, 已知 OC 平分∠ AOB ,D是 OC 上任意一点,⊙D与OA 相切于点 E .求证: OB 与⊙D 相切. 思路: 连接 DE , 过点 D作 DF ⊥ OB 于点 F, 证明 DE = DF 即可, 这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得. 请同学们写出证明过程. 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径. 同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法,作辅助线时一定要注意表述的正确性. 【例 3 】如图 3 ,已知 AB 为⊙O 的直径, C为⊙O 上一点, AD 和过 C点的切线互相垂直,垂足为 D .求证: AC 平分∠ DAB . 思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径. 图1 O AB CD 图3 O AB C D 23 1 图2 O AB C ED 学魅力! 演绎网站传奇! 学数学用数学专页报版权所有@ 少智报· 数学专页证明:连接 OC . ∵ CD 是⊙O 的切线, ∴ OC ⊥ CD . ∵ AD ⊥ CD ,∴ OC ∥ AD . ∴∠ 1=∠2. ∵ OC = OA , ∴∠ 1=∠3. ∴∠ 2=∠3. ∴ AC 平分∠ DAB . 【评析】已知一条直线是某圆的切线时, 切线的位置一般是确定的. 在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直切线. 【例 4 】如图 4 ,已知 AB 为⊙O 的