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求数列通项公式的十一种方法
四川省中江县城北中学 兰序国
总述：：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推式.
In 1 n
Sn = —(a“ + —) Sn = — (S“ -snl+ )
n / n c、" n—i 。 c* ，
解:由巳知 %得 2 ,
化简有="，由类型⑴有S；=S《+2 + 3 + ・“ + 〃,
s 2 = ■(花+ 1) _ J2〃(. + 1)
又Si«得。1=1,所以" 2 ，又2
』2n(n + 1) -』2n(n -1)
则 2
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
：an+l = /(«)«„ 这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
& = y(〃)，则冬= f(l),冬= f(2),，知= f(〃) a” 4 % an
两边分别相乘得，■（幻
% 1=*
例4已知数列｛%｝满足Og =2（〃 + l）5"xq, %=3,求数列｛%｝的通项公式。
=[2(n-1 + 1)5"T ][2伽-2 +1)5'7]..... [2(2 + l)x 52〕[2(1 +1) x 5“ x 3
=T~\n(n -1) ••…3x2]x 5(n~1)+(n"2)+"+2+I x3
= 3x2"「ix5^ xn!
所以数列｛%｝的通项公式为弓=3x 2"一' x5~ xn\.
评注：本题解题的关键是把递推关系a,』=2（〃 + 1）5" xq转化为& = 2（〃 + 1）5”,进而求出 an
％ ,即得数列｛q ｝的通项公式。
an-\。〃一2 。2。1
｛%｝是首项为1的正项数列，且（〃 + 1）成+i 一 〃"； + 4"，=。（〜,2, 3,…），
则它的通项公式是％ =.
解：已知等式可化为：（％+。,,）[（" + 1）%一“"] = 0
・.. 〉0(〃€ N*)「.(n+i)i〃+i = 0, 即
「• 〃之2时,
-1 —
2 = n
评注：本题是关于％和“g的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 ，从而求出％.

，求数列｛an｝的通项公式.
答案：+1) J
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式弓+1 ="。"+"一1，转化为
G+1 +1 =以。〃 +1)，若令久=an +1,则问题进一步转化为如+1 =沥"形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于。混1 = qan + /(«)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。
。"+1 =ca« + d,(c ? 0,其中。1 =。)型
若c=l时，数列｛""｝为等差数列；
若d=0时，数列｛“叮为等比数列；
待定系数法:
设 «„+1 +人=c{an + 2)
得 an+l = Can
+ (c-l)E 与题设 a,+i=ca.
+五比较系数得
(c-l)2 = J
2 = ° , (c ? 0)
，所以 c-1 所以有:
因此数列
d
Q] H
构成以 c-1为首项，以c为公比的等比数列,
、d / i d、 n_\ z 、 d、 n-i d
+— =(% +—％ =(% +— ;
所以 C — 1 C — \ 即： c — 1 c — 1
d . d、
a -ca +z/ an+l + ~ =《(％ + )
规律:将递推关系^+1 ~CCln+a化为 C-1 C-1，构造成公比为C的等比数列
若M且dr °时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.
d、 —｝ %+i
c-1从而求得通项公式
d n—i / d、
~ + C J泠
逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系％+1 =瞻，¥ 中把n换成n-l有％ =c%-i + ", 两式相减有弓+1 一 ％ =c(% - \ )从而化为公比为。的等比数列｛弓+i 一％｝,进而求得通项公式. 。〃+1 -弓="(代- 再利用类型⑴.
例6已知数列｛%｝中，％=1,%=2%_1+1(〃2 2),求数列｛%｝的通项公式。
解法一：an = 2q_] + l(n > 2),
■■-。"+l = 2(q_i +1)
又+l = 2,:.｛an +1)是首项为2,公比为2的等比数列
.•.%+1 = 2",即 ％ = 2"—1
解法二：an = 2a