计算旋转体体积的“柱壳法”.ppt

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《计算旋转体体积的“柱壳法”》
柱 壳 法
Shell Method
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《计算旋转体体积的“柱壳法”》
柱 壳 法
Shell Method
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柱壳法 是计算 xOy 坐标面上的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫Shell Method）。
柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。
柱壳法的方便之处：虽然图形是绕 y 轴旋转，但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。
设
由曲线 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周，得一旋转体。
求旋转体的体积 V。
用以下方法求体积元素：
体积元素是一层柱壳的体积的近似值
柱壳
柱壳半径
柱壳的高
度
柱壳的厚
度
体积元素是一层柱壳的体积的近似值
柱壳法
柱壳法示意图
柱壳法示意图动画
解
例
求
与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴所得的旋转体的体积。
同济大学《高等数学》（第六版）286页20题。
用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
例
求摆线
与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。
用“柱壳法”求图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。

附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍
Volumes by Cylindrical Shells
美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍
同济大学《高等数学》（第六版）286页
在一道习题中要求学生推导“柱壳法”。
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