高中三角函数知识点与常见习题类型解法.docx

三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数：
弧长公式：，= |a|R R为圆弧的半径，。为圆心角弧度数，/为弧长。
扇形的面积公式：S = -IR R为圆弧的半径，/为弧长。
2
同角三角函数关系式：
①倒数关系：)(A>o)将y = f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的a倍(a > 1 伸长，0<A< 1缩短)
【函数的对称变换】：
y = f(x) T y = /(-%))将y = f(x)图像绕y轴翻折180° (整体翻折)；
(对三角函数来说：图像关于X轴对称)
y = f(x) T y = —f(x)将y = f(x)图像绕x轴翻折180。(整体翻折)；
(对三角函数来说：图像关于y轴对称)
y = f(x) T y = /"(国)将y = /(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函 数局部翻折)；
y = /(x) -^y-|/(x)|保留y = f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动)
5、方法技巧一一三角函数恒等变形的基本策略。
常值代换：特别是用“1”的代换；
如1 = sin 项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2 a + 2cos2 a = (sin2 a + cos2 a) + cos2 a = 1 + cos2 a ；
配凑角：a = (a + /3)_/3； ” =竺寸一与"等。
降次与升次；切化弦法。
引入辅助角。
y = — sinO + "cos》= J。' +// sin(0 +饥=』a2 cos(。一仞),这里辅助角(p所在象限由
b
以、人的符号确定，。角的值由tan0 = 一确定。
a
【典型例题】：
1、已知tanx = 2, 求sinx,cosx的值.
« +cos2 a = tanxxcotx = tan45°等。
qin x
解： 因为 tanx = = 2 , Xsin2 ^z + cos2 a = l,
COS X
sinx = 2cosx
联立得｛ ,
sin x + cos x = l
解这个方程组得｛
久求些地y些*的值
tane690°)sin(-150o)cos(330°)
tan&120° +180°)cos(18(J +30°)sin(—360° —120°)
号 2 - tan^720° +30°)sin(-15(J)cos(36a -30°)
_ tan60° (-cos30°)(-sinl 20°) _ 3抵
tan 30° (-sinl50°)cos30°
小 sin x - cos x — — . ,, 土
3、右二 = 2,,求sinxcosx 的值.
sin x + cos x
解：法一：因为simosx = 2,
sinx + cosx
所以 sinx-cosx = 2(sinx + cosx)
得至ijsinx = -3cos x , Xsin2 ^z + cos2 a = l,联立方程组，解得
'. 3面
. 3V10
sm x = I。
'_际 cosx — —] 0
sm x = —jq—
V10，
COSX— ] 0
所以 sin xcos x
10
、上 f sin x - cos x 小
法二：因为 =2,
sin x + cos x
所以 sinx-cosx = 2(sinx + cosx),
所以(sinx-cos%)2 = 4(sinx + cos尤)2 , 所以 1 一 2sinxcos x = 4 + 8sinxcos x ,
3
所以有sin xcos x =
10
4、求证：tan2 xsin2 x = tan2 x - sin2 x o
证明：法一：右边=tan2 x-sin2 x = tan2 x-(tan2 xcos2 x) = tan2 x(l-cosx2) = tan2 xsinx2 ； 法二：
左边二 tan2 xx sin2 x = tan2 xx(l —cos2 x) = tan2 x —tan2 xcosx2 = tan2 x(l —cosx2) = tan2 xsinx2
5、求函数y = 2 sin(- +四)在区间［0,2〃］上的值域。
2 6
Y 7T X 7T 7 TC
解：因为0 < x V 2i],所以0V — < 7C , —<—I—<—由正弦函数的图象，得到
2 6 2 6 6
c • /]兀、
^ = 2sin(- + -)e
2 o
所以 y g 2sin(—+ ^) g [—1,2]
2 6
6、求下列函数的值域.
(2